Fonction gamma inverse

En mathématiques, la fonction gamma inverse est la fonction

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\Gamma (z)}},}$

Tracé de1/Γ(x) le long de l'axe réel

Fonction gamma inverse sur le plan complexe

où Γ(z) désigne la fonction gamma. Comme la fonction gamma est méromorphe et non nulle partout dans le plan complexe, son inverse est une fonction entière. En tant que fonction entière, elle est d'ordre 1 (ce qui signifie que ln ln |1/Γ(z)| croit moins lentement que ln |z| mais est de type infini (ce qui signifie que ln |1/Γ(z)| croit plus vite que tout multiple de |z|, puisque sa croissance est approximativement proportionnel à |z| ln |z| dans le demi-plan gauche).

L'inverse est parfois utilisée comme point de départ pour le calcul numérique de la fonction gamma, et quelques bibliothèques logicielles la fournissent séparément de la fonction gamma standard.

Karl Weierstrass a appelé la fonction gamma inverse la « factorielle » et l'a utilisée dans son développement du théorème de factorisation de Weierstrass.

Développement en produit infini

Suite aux définitions du produit infini pour la fonction gamma, dues respectivement à Euler et à Weierstrass, on obtient le développement du produit infini suivant pour la fonction gamma réciproque :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\mathrm {e} ^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$

où γ = 0,577216... est la constante d'Euler-Mascheroni. Ces développements sont valables pour tous les nombres complexes z .

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor autour de 0 donne^[1]:

${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni. Pour n > 2, le coefficient a_n pour le terme zⁿ peut être calculé récursivement comme^[2],[3],[4]

${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$

où ζ est la fonction zêta de Riemann. Une représentation intégrale de ces coefficients a été récemment trouvée par Fekih-Ahmed (2014)^[4] :

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ \operatorname {Im} \left[\ \left(\ln(t)-\mathrm {i} \pi \right)^{n}\ \right]\ \mathrm {d} t~.}$

Pour les petites valeurs, on obtient les valeurs suivantes :

n	an
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

Fekih-Ahmed (2014) ^[4] donne également une approximation pour ${\displaystyle a_{n}}$ :

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ \mathrm {e} ^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$

où ${\displaystyle z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,}$ et ${\displaystyle W_{-1}}$ est la branche négative de la fonction W de Lambert.

Le développement de Taylor autour de 1 a les mêmes coefficients (mais décalés), c'est-à-dire :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$

(l'inverse de la fonction pi de Gauss).

Développement asymptotique

Lorsque |z| tend vers l'infini à arg(z) constant, on a le développement suivant :

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{pour}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$

Représentation intégrale

La fonction gamma inverse est un exemple classique d'application de la méthode du point col^[5],[6]. On a par exemple :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\mathrm {e} ^{z}z^{1-z}}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\exp \left[-z\left(1-\theta \cot \theta +\ln {\frac {\theta }{\sin \theta }}\right)\right]\,\mathrm {d} \theta ,}$

Représentation intégrale de contour

Une représentation intégrale due à Hermann Hankel est

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\mathrm {i} }{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t,}$

où H est le contour de Hankel, c'est-à-dire le chemin encerclant 0 dans le sens positif, commençant et revenant à l'infini positif par rapport à la branche coupée le long de l'axe réel positif. Selon Schmelzer et Trefethen, l'évaluation numérique de l'intégrale de Hankel est la base de certaines des meilleures méthodes de calcul de la fonction gamma^[5].

Représentations intégrales aux entiers positifs

Pour les entiers positifs ${\displaystyle n\geq 1}$, il existe une intégrale pour la fonction factorielle inverse donnée par ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}}\ \mathrm {d} t.}$

De même, pour tout réel ${\displaystyle c>0}$ et ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tel que ${\displaystyle \Re e(z)>0}$ on a l'intégrale suivante pour la fonction gamma inverse le long de l'axe réel sous la forme de^[8] :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\mathrm {i} t)^{-z}\mathrm {e} ^{c+\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t,}$

où le cas particulier où ${\displaystyle z=n+1/2}$ fournit une relation correspondante pour la fonction factorielle double inverse, ${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Intégrale selon l'axe réel

L'intégration de la fonction gamma inverse le long de l'axe réel positif donne la valeur

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,\mathrm {d} x\approx 2,80777024,}$

qui est connue sous le nom de constante de Fransén-Robinson.

On a également la formule suivante ( ^[9] chapitre 9, exercice 100)

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,\mathrm {d} x=a\mathrm {e} ^{a}+a\int _{0}^{+\infty }{\dfrac {\mathrm {e} ^{-ax}}{\ln ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x}$

Voir aussi

• Fonction de Bessel-Clifford
• Loi inverse-gamma