Fonction W de Lambert

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe f définie par f(w) = w e^w, c'est-à-dire que pour tout nombre complexe z et w, nous avons :

${\displaystyle z=w\mathrm {e} ^{w}\;\Longleftrightarrow \;w=W(z).}$

Les deux branches de la fonction de Lambert sur l'ensemble ]–1/e , +∞[.

Puisque la fonction f n'est pas injective, W est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles ${\displaystyle x\geqslant -{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$. Une des branches, la branche principale, W₀ peut être prolongée analytiquement en dehors de ]−∞, –1/e]. Pour tout nombre complexe z ∉ ]−∞, –1/e], on a :

${\displaystyle W_{0}(z)\mathrm {e} ^{W_{0}(z)}=z\,.}$

La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.

Historique

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758^[1], ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783^[2] qui discutait le cas particulier de w e^w. La première description de la fonction W semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925^[3]. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990, lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales, un problème physique fondamental. Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques^[4].

Branches de la « fonction » de Lambert

Représentation graphique de la branche W₀ de la fonction W de Lambert.

La partie supérieure de la courbe (y > −1) est la branche W₀ ; la partie inférieure (y < −1) est la branche W₋₁ définie pour x < 0.

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ −1/e, il existe une fonction et une seule W₀ à valeurs réelles ${\displaystyle \geq -1}$ telle que

${\displaystyle x=f(W_{0}(x));}$ ${\displaystyle x=W_{0}(x)\mathrm {e} ^{W_{0}(x)};}$

c'est la branche principale de W dans ce domaine. La représentation graphique de W₀ figure à droite.

On note généralement W₋₁ l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que ${\displaystyle -1/\mathrm {e} \leq x<0}$, et à valeurs ${\displaystyle \leq -1}$.

Propriétés élémentaires

Expression de e^W(y)

On a W(y) e^W(y) = y, donc, si W désigne une des deux branches W₀ ou W₋₁ :

${\displaystyle \forall y\neq 0,\ \mathrm {e} ^{W(y)}={\frac {y}{W(y)}}.}$

Conséquences de la définition

De l'égalité de la définition, on peut déduire :

• ${\displaystyle W(-\mathrm {e} ^{-1})=-1}$ (où W désigne l'une quelconque des deux branches)
• ${\displaystyle W_{0}(x\cdot \mathrm {e} ^{x})=x,\quad }$ si x ≥ –1.
• ${\displaystyle W_{-1}(x\cdot \mathrm {e} ^{x})=x,\quad }$ si x ≤ –1.
• ${\displaystyle W(x)=\ln \left({\frac {x}{W(x)}}\right)}$ (où W désigne l'une quelconque des deux branches et x est non nul)
• ${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln(x)-W_{0}(x)}$ si x > 0^[5]
• ${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)=-\ln x\quad \left(0<x\leqslant \mathrm {e} \right)}$
• ${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)=-\ln x\quad \left(x\geqslant \mathrm {e} \right)}$
• ${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\textrm {et}}\quad \mathrm {e} ^{W_{0}(x\ln x)}=x\quad \left(x\geqslant {\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)}$
• ${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\textrm {et}}\quad \mathrm {e} ^{W_{-1}(x\ln x)}=x\quad \left(0<x\leqslant {\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)}$

Valeurs particulières

Voici quelques valeurs remarquables de W, obtenues simplement en remarquant que f(0) = 0, f(1) = e, f(–1) = –1/e, etc. :

• ${\displaystyle W_{0}(0)=0\,}$
• ${\displaystyle W_{0}(\mathrm {e} )=1\,}$
• ${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)=W_{-1}\left(-{\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)=-1\,}$
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega \simeq 0,56714329\dots \,\,}$ où Ω est la constante oméga
• ${\displaystyle W_{0}(1)=\mathrm {e} ^{-W_{0}(1)}=\ln \left({\frac {1}{W_{0}(1)}}\right)=-\ln W_{0}(1)}$

On peut obtenir de même des valeurs complexes de W(x) pour certains x <  −1/e ; ainsi ${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=\pm {\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}}$

Dérivée

Si W désigne une des deux branches W₀ ou W₋₁, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour ${\displaystyle \,x\neq -{\frac {1}{\mathrm {e} }},\quad W'(x)={\frac {1}{(1+W(x))\mathrm {e} ^{W(x)}}}={\frac {1}{x+\mathrm {e} ^{W(x)}}}\,}$ pour x ≠ 0 et ${\displaystyle \,x\neq -{\frac {1}{e}},\quad W'(x)={\frac {W(x)}{x(1+W(x))}},}$ ${\displaystyle W_{0}'\left(0\right)=1}$

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de W satisfait l'équation différentielle :

${\displaystyle x(1+y)y'=y\quad }$ pour x ≠ −1/e.

Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme ${\displaystyle x\mapsto W_{-1}(kx)}$ (avec k ≠ 0) ou ${\displaystyle x\mapsto W_{0}(kx)}$.

Primitives

La fonction W désignant une des deux branches W₀ ou W₋₁, beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = we^w :

${\displaystyle \int W(x)\,\mathrm {d} x=xW(x)-x+\mathrm {e} ^{W(x)}+C=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C}$

Méthodes de calcul de W0

Par la série de Taylor

Représentation de la branche principale W₀ de la fonction de Lambert dans le plan complexe (le code des couleurs utilisé est commenté précisément au début de l'article « Fonction zêta »).

La série de Taylor de W₀ au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange^[6] et est donnée par

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\dotsb }$.

Le rayon de convergence est égal à 1/e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, –1/e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Nous déduisons de la série de Taylor l'équivalent suivant de W₀(x) en 0 : ${\displaystyle W_{0}(x)\,{\underset {0}{\sim }}\,x}$

Comme limite d'une suite

On peut calculer W₀(x) de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w₀ égale à 1 et en calculant les termes de la suite

${\displaystyle w_{n+1}=x\mathrm {e} ^{-w_{n}}}$.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est W₀(x). On démontre que c'est en effet le cas si ${\displaystyle x\in [-\mathrm {e} ^{-1};\mathrm {e} ]}$ :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }w_{n}=W_{0}(x).}$

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de w₀ = 1, et posant

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}-{\frac {w_{n}\mathrm {e} ^{w_{n}}-x}{\mathrm {e} ^{w_{n}}+x}}\$ ;}

cette suite converge (très rapidement) vers W₀(x) pour tout ${\displaystyle x>-{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$ .

Développements asymptotiques de W0

On a, pour x tendant vers ${\displaystyle +\infty }$, le développement asymptotique à trois termes suivant^[7] :

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)^{2}\right).}$

On a pour x tendant vers –1/e, le développement asymptotique de W₀ :

${\displaystyle W_{0}(x)=-1+{\sqrt {2(\mathrm {e} x+1)}}+o\left({\sqrt {x+{\frac {1}{\mathrm {e} }}}}\right).}$

Développement asymptotique de W−1

On peut également obtenir un développement asymptotique pour W₋₁ avec x tendant vers 0^- :

${\displaystyle W_{-1}(x)=\ln(-x)-\ln(-\ln(-x))+{\frac {\ln(-\ln(-x))}{\ln(-x)}}+O\left(\left({\frac {\ln(-\ln(-x))}{\ln(-x)}}\right)^{2}\right).}$

Paramétrisation des deux branches réelles de la fonction W de Lambert

Les deux branches réelles W₀(x) et W_–1(x) de la fonction W de Lambert peuvent s'écrire de façon paramétrée.

En effet il existe ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ qui permet d'écrire ${\displaystyle \forall x\in \left[-{\frac {1}{\mathrm {e} }},0\right]}$:${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rl}W_{0}(x)&=\ {\frac {\alpha \ln(\alpha )}{1-\alpha }}\\W_{-1}(x)&=\ {\frac {\ln(\alpha )}{1-\alpha }}\\x&=\ \alpha ^{\tfrac {1}{1-\alpha }}\ln \left(\alpha ^{\tfrac {1}{1-\alpha }}\right)\end{array}}\right.}$^[8]

Utilisation

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à x e^x. À ce point, la « fonction » W nous fournit les solutions :

${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=Y\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y)}$

(chaque branche différente de la « fonction » W donne une solution différente).

Exemples d'applications

Équation   2^t = 5t

Par exemple, pour résoudre l'équation 2^t = 5t, nous divisons par ${\displaystyle -{\frac {5}{\ln 2}}2^{t}}$ pour obtenir ${\displaystyle {\frac {-\ln 2}{5}}=-\ln(2)t\mathrm {e} ^{-\ln(2)t}.}$ La définition de la « fonction » W donne alors ${\displaystyle -\ln(2){t}=W\left({\frac {-\ln(2)}{5}}\right)}$, soit ${\displaystyle t=-{\frac {W(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}.}$

Comme ${\displaystyle -{\frac {\ln 2}{5}}<0,}$ cette formule donne deux solutions réelles : ${\displaystyle t_{0}=-{\frac {W_{0}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}}$ et ${\displaystyle t_{1}=-{\frac {W_{-1}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}}.}$

Équations   x^x = z   et   x log_b (x) = a

Avec la « fonction » W de Lambert, on peut résoudre des équations du type x^x = z (avec ${\displaystyle z\geq \mathrm {e} ^{-1/\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle x\geq 1/\mathrm {e} }$) par :

${\displaystyle \ln z=x\ln x=\mathrm {e} ^{\ln x}\,\ln x\Longleftrightarrow \ln(x)=W(\ln z),}$

donc

${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{W(\ln z)}\;}$
et, si ${\displaystyle z\not =1}$, ${\displaystyle \;x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}}$.

Les solutions de l'équation :

${\displaystyle x\log _{b}(x)=a}$

(avec ${\displaystyle b>0}$ et ${\displaystyle a\ln b\geq -1/\mathrm {e} }$), équivalente à ${\displaystyle x^{x}=b^{a}\,}$, sont données avec la « fonction » W de Lambert :

${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{W(a\ln(b))}\;}$
et, si ${\displaystyle a\ln b\not =0}$, ${\displaystyle \quad x={\frac {a\ln(b)}{W(a\ln(b))}}}$

.

La tétration infinie

En général, la tour de puissances infinie ${\displaystyle x^{x^{x^{..}}}}$ converge si et seulement si ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {e} }\leq x\leq \mathrm {\mathrm {e} } ^{1/\mathrm {e} }}$.

Si r est un nombre réel avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-1}\leq r\leq \mathrm {e} }$ et x le nombre ${\displaystyle x=r^{1/r}}$, alors la limite de la suite définie par ${\displaystyle u_{n+1}=x^{u_{n}}}$ et ${\displaystyle u_{0}=x}$ est r :

${\displaystyle x^{x^{x^{..}}}=r}$.

Quand une tétration infinie ${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ converge, la fonction W₀ de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme : ${\displaystyle r=\mathrm {e} ^{-W_{0}(-\ln x)}}$
(${\displaystyle r={\frac {W_{0}(-\ln x)}{-\ln x}}}$ si x ≠ 1).

Cela peut être étendu aux nombres complexes z avec la définition :

${\displaystyle h(z)=z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}=\mathrm {e} ^{-W_{0}(-\operatorname {Log} z)}=-{\frac {\mathrm {W} _{0}(-\operatorname {Log} z)}{\operatorname {Log} z}}}$

où Log z représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Équation   x + e^x = y

La bijection réciproque de ${\displaystyle g:x\mapsto x+\mathrm {e} ^{x}}$ peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation ${\displaystyle g(x)=x+\mathrm {e} ^{x}=y,}$ on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant ${\displaystyle X=\mathrm {e} ^{x},}$ à ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=\mathrm {e} ^{y},}$ et donc ${\displaystyle X=W_{0}(\mathrm {e} ^{y}),}$ soit :

${\displaystyle x=g^{-1}(y)=\ln W_{0}(\mathrm {e} ^{y})=y-W_{0}(\mathrm {e} ^{y}).}$

Équations   a e^x + bx + c = 0

Résolution des équations de forme : ${\displaystyle ae^{x}+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$ et x dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

On pose ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$, ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

Théorème —  Les solutions de l'équation ${\displaystyle ae^{x}+bx+c=0}$ sont:

• Si ${\displaystyle \Delta \geq 0}$ ou si ${\displaystyle \Delta =-{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$ alors l'équation admet une solution dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle x=-W_{0}(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta \in ]-{\frac {1}{\mathrm {e} }};0[}$ alors l'équation admet deux solutions dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle x_{1}=-W_{0}(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$ ${\displaystyle x_{2}=-W_{-1}(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta <-{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$ alors ${\displaystyle E_{2}}$ n'admet pas de solution dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Démonstration

Factorisons l'équation ci-dessus de manière à la mettre sous la forme ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=Y}$.

${\displaystyle a\mathrm {e} ^{x}+bx+c=0\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{x}+x+{\frac {c}{b}}=0\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{x}=-x-{\frac {c}{b}}\Leftrightarrow \left(-x-{\frac {c}{b}}\right){\frac {b}{a}}\mathrm {e} ^{-x}=1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(-x-{\frac {c}{b}}\right)\mathrm {e} ^{-x-{\frac {c}{b}}}={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$ (produit par ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$)

Posons ${\displaystyle X=-x-{\frac {c}{b}}}$ et ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{b}}}}$. On a alors : ${\displaystyle X\mathrm {e} ^{X}=\Delta }$. On trouve alors : ${\displaystyle X=W(\Delta )}$. On obtient finalement :

${\displaystyle x=-W(\Delta )-{\frac {c}{b}}}$

La fonction W de Lambert étant multivaluée sur ${\displaystyle \left]{\frac {-1}{\mathrm {e} }};0\right[}$, on en déduit la quantité de solutions réelles de l'équation.

Équations   a ln(x) + bx + c = 0

À l'aide du changement de variable x = e^z, la résolution des équations de la forme : ${\displaystyle a\ln(x)+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$ et x dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*+}}$ se déduit du cas précédent. Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que W est multivaluée) de la forme :

${\displaystyle x=\exp \left(-{W\left(\Delta \right)}-{\frac {c}{a}}\right)}$ ,

où ${\displaystyle {\Delta ={\frac {b}{a}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{a}}}}}$.

Équations   a λ^x + bx + c = 0   et   a log_λ(x) + bx + c = 0

Plus généralement, la fonction W de Lambert permet de résoudre les équations de la forme : ${\displaystyle a\lambda ^{x}+bx+c=0}$ et ${\displaystyle a\log _{\lambda }(x)+bx+c=0}$ avec ${\displaystyle \lambda >0}$ et ${\displaystyle \lambda \neq 1}$, x dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{*2}\times \mathbb {R} }$.

Il suffit pour cela de considérer une fonction ${\displaystyle W_{\lambda }}$ tel que ${\displaystyle X\lambda ^{X}=Y\Longleftrightarrow X=W_{\lambda }(Y)}$ de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base : ${\displaystyle W_{\lambda }(x)={\frac {W(x\ln(\lambda ))}{\ln(\lambda )}}}$. On obtient alors, avec ${\displaystyle \Delta ={\frac {a}{b}}\lambda ^{-{\frac {c}{b}}}}$ :

${\displaystyle a\lambda ^{x}+bx+c=0\Leftrightarrow x=-W_{\lambda }(\Delta )-{\frac {c}{b}}=-{\frac {W(\Delta \ln(\lambda ))}{\ln(\lambda )}}-{\frac {c}{b}}}$

et avec ${\displaystyle \Delta ^{\prime }={\frac {b}{a}}\lambda ^{-{\frac {c}{a}}}}$:

${\displaystyle a\log _{\lambda }(x)+bx+c=0\Leftrightarrow x=\lambda ^{\left(-{\frac {W\left(\Delta ^{\prime }\ln(\lambda )\right)}{\ln(\lambda )}}-{\frac {c}{a}}\right)}}$

Il faut alors considérer le nombre ${\displaystyle \Delta \ln(\lambda )}$ pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Applications en physique

Constante de Wien

Dans la loi du déplacement de Wien : ${\displaystyle \sigma _{w}=T\cdot \lambda _{\mathrm {max} }=2,898\cdot 10^{-3}\;\mathrm {m\cdot K} }$. La constante de Wien, noté ${\displaystyle \sigma _{w}}$ peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction ${\displaystyle W}$ de Lambert.

Elle vaut : ${\displaystyle \sigma _{w}={\frac {1}{5+W_{0}(-5e^{-5})}}{\frac {hc}{k_{\mathrm {B} }}}}$, avec ${\displaystyle h}$ la constante de Planck, ${\displaystyle c}$ la vitesse de la lumière dans le vide et ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ la constante de Boltzmann.

Courant dans un circuit diode-résistance

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode (en).

Diverses formules intégrales

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}(x)\right)\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$ (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}.}$

Représentations graphiques

• Représentation de la partie réelle, de la partie imaginaire et du module de la fonction W de Lambert dans le plan complexe
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle z=\Re (W_{0}(x+{\rm {i}}y))}$
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle z=\Im (W_{0}(x+{\rm {i}}y))}$
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle z=|W_{0}(x+{\rm {i}}y)|}$
• 
  Les trois fonctions réunies

Généralisations

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations « algébriques-transcendantes » (en x) de la forme :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-cx}=a_{0}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

ou a₀, c et r sont des constantes réelles. La solution est ${\displaystyle x=r+W(c\mathrm {e} ^{-cr}/a_{o})/c.}$

Les généralisations de la fonction W de Lambert^{[9],[10],[11]} incluent :

• un lien entre la relativité générale et la mécanique quantique (gravité quantique) en dimensions réduites^[12] où la partie de droite de l'équation (1) est maintenant un polynôme quadratique en x :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-cx}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)}$

où r₁ et r₂ sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme r_i et a₀ sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une « classe » différente de fonctions. Quand r₁ = r₂, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W.

L'équation (2) est celle gouvernant le champ d'un dilaton parvenant du modèle R=T- par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui est constitué du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

• les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions)^[13].

La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant un quotient de « polynômes » d'ordre infini en x :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-cx}=a_{o}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)}$

où r_i et s_i sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. L'équation (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel. La « fausse dérivée » de Hardy fournit des racines exactes pour des cas spéciales de (3)^[14].

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1), comme on vient de le voir dans les domaines de la physique atomique et moléculaire^[15] et aussi, le critère de Keiper-Li pour l'hypothèse de Riemann^[16].