Formulaire de géométrie classique

Ce formulaire de géométrie classique récapitule diverses formules reliant algébriquement des mesures de longueur, d'aire ou de volume pour des figures de géométrie euclidienne.

Illustration tirée de l'encyclopédie Brockhaus et Efron (1890-1907) représentant deux globes terrestres entourés de diverses formes géométriques.

Figures du plan

Périmètre et aire

Nom	Représentation	Périmètre ${\displaystyle p}$	Aire intérieure ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$	Relations supplémentaires
Carré		${\displaystyle 4a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$
Rectangle		${\displaystyle 2(a+b)}$	${\displaystyle a\times b}$	${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
Triangle		${\displaystyle a+b+c}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {base} \times \mathrm {hauteur} }$	${\displaystyle {\mathcal {A}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ où ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}p}$ (formule de Héron)
Triangle équilatéral		${\displaystyle 3a}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$	${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$
Triangle isocèle rectangle	c = côté de l'angle droit	${\displaystyle (2+{\sqrt {2}})c}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c^{2}}$	${\displaystyle d=c{\sqrt {2}}}$
Losange		${\displaystyle 4a}$	${\displaystyle {\frac {D_{1}\times D_{2}}{2}}}$.	${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{D_{1}}^{2}+{D_{2}}^{2}}}}$
Parallélogramme		${\displaystyle 2(a+b)}$	${\displaystyle a\times h}$	${\displaystyle {\mathcal {A}}=ab\sin \theta }$
Trapèze		${\displaystyle a+b+c+d}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+c)\times h}$
Disque		${\displaystyle 2\pi r}$	${\displaystyle \pi \times r^{2}}$
Couronne circulaire			${\displaystyle \pi \left(R^{2}-r^{2}\right)}$
Secteur circulaire		${\displaystyle r\cdot \left(2+\pi \cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}\right)}$	${\displaystyle \pi r^{2}\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}}$	${\displaystyle L=\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}}$
Segment circulaire			${\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$	${\displaystyle s=R\theta }$ ${\displaystyle c=2R\sin(\theta /2)}$ ${\displaystyle d=R\cos(\theta /2)}$ ${\displaystyle h=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)}$
Ellipse		${\displaystyle L=\textstyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle \pi \times a\times b}$	${\displaystyle 2\pi {\frac {a+b}{2}}<L<2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}$

Autres relations

Triangle rectangle.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle ${\displaystyle ABC}$ rectangle en ${\displaystyle C}$, les longueurs des côtés sont reliées par la formule :

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.}$

Configuration de Thalès.

Théorème de Thalès

Dans un triangle ${\displaystyle ABC}$ non plat, si une droite parallèle à ${\displaystyle (BC)}$ coupe ${\displaystyle (AB)}$ en ${\displaystyle D}$ et coupe ${\displaystyle (AC)}$ en ${\displaystyle E}$ alors les égalités suivantes sont vérifiées :

${\displaystyle {\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}.}$

Figures de l'espace

Nom	Représentation	Aire de la surface	Volume intérieur	Relations supplémentaires
Cube		${\displaystyle 6c^{2}}$	${\displaystyle c^{3}}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}=c{\sqrt {3}}}$
Pavé droit		${\displaystyle 2(ab+ah+bh)}$	${\displaystyle abh}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+h^{2}}}}$
Prisme droit	B : aire de chaque base P : périmètre de chaque base h : hauteur du prisme	extrémités : ${\displaystyle 2\times B}$ surface latérale : ${\displaystyle Ph}$	${\displaystyle {\mathcal {B}}\times h}$
Cylindre de révolution		extrémités : ${\displaystyle 2\times \pi r^{2}}$ surface latérale : ${\displaystyle 2\pi rh}$ aire totale : ${\displaystyle 2\pi r(h+r)}$.	${\displaystyle \pi r^{2}h}$
Pyramide			${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\mathcal {B}}\times h}$
Tétraèdre régulier		${\displaystyle a^{2}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}}$	${\displaystyle h=a{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$
Cône de révolution		base : ${\displaystyle \pi r^{2}}$ surface latérale : ${\displaystyle S=\pi rR=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$	${\displaystyle S=\left(\pi -{\frac {\theta }{2}}\right)R^{2}}$ ${\displaystyle \theta =2\pi \left(1-{\frac {r}{R}}\right)}$ ${\displaystyle h=R{\sqrt {{\frac {\theta }{2\pi }}\left(2-{\frac {\theta }{2\pi }}\right)}}}$
Sphère		${\displaystyle 4\pi r^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$
Calotte sphérique		base : ${\displaystyle \pi a^{2}}$ surface courbe : ${\displaystyle S=2\pi rh=\pi d^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$ ${\displaystyle S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {r'}{2r}}}$ pour ${\displaystyle r'\ll r}$, ${\displaystyle S\approx \pi r'^{2}\left(1-{\frac {1}{12}}{\frac {r'^{2}}{r^{2}}}\right)}$
Ellipsoïde		(non algébrique)	${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi abc}$
Tore		${\displaystyle S=2\pi r.2\pi R=4\pi ^{2}rR}$	${\displaystyle V=\pi r^{2}.2\pi R=2\pi ^{2}r^{2}R}$

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