Nombre premier de Sophie Germain

Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le « premier cas ») est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que x^G + y^G = z^G.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain

Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme G_i inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté S_i = 2G_i + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 127

Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 1 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.

décades d'entiers n	première décade	deuxième décade	troisième décade	quatrième décade	cinquième décade	sixième décade	septième décade	huitième décade	neuvième décade	dixième décade	onzième décade	douzième décade	treizième décade
entiers n =	00 à 09	10 à 19	20 à 29	30 à 39	40 à 49	50 à 59	60 à 69	70 à 79	80 à 89	90 à 99	100 à 109	110 à 119	120 à 127
premiers dont Gi et Si	-[n 1]	11 G4 et S3	23 G5 et S4	31	41 G7	53 G8	61	71	83 G9 et S7	97	101	113 G11	127
S	-[n 1]	S4=23	S5=47	-	S7=83	S8=107	-	-	S9=167	-	-	S11=227	-
premiers dont Gi et Si	-[n 2]	13	29 G6	37	43	59 S6	67	73	89 G10		103		(131) (G12)
S	-[n 2]	-	S6=59	-	-	-	-	-	S10=179		-		(S12=263)
premiers dont Gi et Si	2 G1	17			47 S5			79			107 S8		(173) (G13)
S	S1=5	-			-			-			-		(S13=347)
premiers dont Gi et Si	3 G2	19									109		(179) (S10 et G14)
S	S2=7	-									-		(S14=359)
premiers dont Gi et Si	5 G3 et S1												(191) (G15)
S	S3=11												(S15=383)
premiers dont Gi et Si	7 S2												(233) (G16)
S	-												(S16=467)
sous-totaux des p, Gi, Si, par décade	4 p 3 G 2 S	4 p 1 G 1 S	2 p 2 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 1 G 1 S	2 p 1 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 0 G 0 S	2 p 2 G 1 S	1 p 0 G 0 S	4 p 0 G 1 S	1 p 1 G 0 S	1 p 0 G 0 S
Totaux et ratios A	- A1 - 25 soit 25 % de nombres premiers p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. 7 soit 7 % de nombres premiers sûrs S parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. - A2 - 46 soit 23 % de nombres premiers « p » parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199, à comparer à : 15 soit 7,5 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199. 10 soit 5 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199.
Totaux et ratios B	- B1 - 31 soit 24 % de nombres premiers p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. 8 soit 6,25 % de nombres premiers sûrs S parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. - B2 - 54 soit 21 % de nombres premiers p parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255, à comparer à : 18 soit 7 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255[n 3]. 11 soit 4,3 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255.

1. Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
2. Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
3. Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G₁₇ = 239 et G₁₈ = 251.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 1 023

Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 2 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.

centaines d'entiers n		premier cent			deuxième cent			troisième cent		quatrième cent		cinquième cent		sixième cent		septième cent		huitième cent		neuvième cent		dixième cent		+ 23 → 1023
Typ	Qté	00	10	20	00	10	20	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00
p Gi Si	01	2 G1	31	73	101	151	199	211	269	307	367	401	461	503 S18	577	601	659 G30	701	769	809 G35	863 S23	907	977	1009
S		S1=5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	S30=1319	-	-	S35=1619	-	-	-	-
p Gi Si	02	3 G2	37	79	103	157		223	271	311	373	409	463	509 G26	587 S20	607	661	709	773	811	877	911 G36	983 S25	1013 G38
S		S2=7	-	-	-	-		-	-	-	-	-	-	S26=1019	-	-	-	-	-	-	-	S36=1823	-	S38=2027
p Gi Si	03	5 G3 S1	41 G7	83 G9 S7	107 S8	163		227 S11	277	313	379	419 G22	467 S16	521	593 G27	613	673	719 G32 S21	787	821	881	919	991	1019 G39 S26
S		S3=11	S7=83	S9=167	-	-		-	-	-	-	S22=839	-	-	S27=1187	-	-	S32=1439	-	-	-	-	-	S39=2039
p Gi Si	04	7 S2	43	89 G10	109	167 S9		229	281 G19	317	383 S15	421	479 S17	523	599	617	677	727	797	823	883	929	997	1021
S		-	-	S10=179	-	-		-	S19=563	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
p Gi Si	05	11 G4 S3	47 S5	97	113 G11	173 G13		233 G16	283	331	389	431 G23	487	541		619	683 G31	733		827	887 S24	937		(1031) (G40)
S		S4=23	-	-	S11=227	S13=347		S16=467	-	-	-	S23=863	-	-		-	S31=1367	-		-	-	-		(S40= 2063)
p Gi Si	06	13	53 G8		127	179 G14 S10		239 G17	293 G20	337	397	433	491 G25	547		631	691	739		829		941		(1049) (G41)
S		-	S8=107		-	S14=359		S17=479	S20=587	-	-	-	S25=983	-		-	-	-		-		-		(S41= 2099)
p Gi Si	07	17	59 S6		131 G12	181		241		347 S13		439	499	557		641 G28		743 G33		839 S22		947		(1103) (G42)
S		-	-		S12=263	-		-		-		-	-	-		S28=1283		S33=1487		-		-		(S42= 2207)
p Gi Si	08	19	61		137	191 G15		251 G18		349		443 G24		563 S19		643		751		853		953 G37		(1223) (G43)
S		-	-		-	S15=383		S18=503		-		S24=887		-		-		-		-		S37=1907		(S43= 2447)
p Gi Si	09	23 G5 S4	67		139	193		257		353		449		569		647		757		857		967		(1229) (G44)
S		S5=47	-		-	-		-		-		-		-		-		-		-		-		(S44= 2459)
p Gi Si	10	29 G6	71		149	197		263 S12		359 G21 S14		457		571		653 G29		761 G34		859		971		(1289) (G45)
S		S6=59	-		-	-		-		S21=759		-		-		S29=1307		S34=1523		-		-		(S45= 2579)
ss-totaux et ratios par cent		25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 %			21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 %			16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 %		16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 %		16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 %		14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 %		15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 %		4 p 2 G 1 S
Totaux et ratios A		- A1 - 168 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. 25 soit 2,50 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1000 entiers n compris entre 0 et 999. - A2 - 303 soit 15,2 % de nombres premiers p parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999. 37 soit 1,85 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.
Totaux et ratios B		- B1 - 172 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. 26 soit 2,54 % de nombres premiers sûrs S parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1 023. - B2 - 309 soit 15,1 % de nombres premiers p parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047. 39 soit 1,90 % de nombres premiers sûrs S dilués parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est^[1] 2C₂ n / (ln n)² où C₂ est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 10⁴, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 10⁷, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Exemple d'application

Soit ${\displaystyle p}$ un nombre premier de la forme ${\displaystyle p=4k+3}$. Alors ${\displaystyle p}$ est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ est un nombre composé dont ${\displaystyle 2p+1}$ est un diviseur^[2]. Ce théorème dû à Euler^[2] peut être utilisé comme test de primalité^[2]; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent ${\displaystyle M_{83}=2^{83}-1}$ est divisible par 167 et n'est donc pas premier.