Polylogarithmique

Une fonction polylogarithmique^[1] de n est une fonction polynomiale en le logarithme de sa variable. Elle a la forme suivante :

${\displaystyle f(x)=a_{k}\log ^{k}x+\cdots +a_{1}\log x+a_{0}}$.

Pour éviter les confusions avec les fonctions polylogarithmes, il vaut mieux parler de polynôme logarithmique^{[réf. nécessaire]}, par analogie avec les polynômes trigonométriques.

Propriétés

Une fonction polylogarithmique croît plus lentement que n'importe quel polynôme. Plus précisément, au voisinage de l'infini, toutes les fonctions polylogarithmiques sont négligeables par rapport aux fonctions puissance à n'importe quel exposant strictement positif :

${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=o(x^{\varepsilon })}$.

Applications

En informatique, les fonctions polylogarithmiques apparaissent dans les complexités de certains algorithmes (et en particulier des algorithmes parallèles, dans les classes de complexité parallèle).