Quadruplet pythagoricien

En arithmétique, un quadruplet pythagoricien est un quadruplet d'entiers naturels non nuls (a, b, c, d) vérifiant ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$.

Les quatre quadruplets pythagoriciens primitifs ne faisant intervenir que des nombres à un chiffre.

Tout quadruplet pythagoricien peut se représenter par un pavé droit à côtés de longueurs entières ${\displaystyle a,b,c}$, et de diagonale principale de longueur ${\displaystyle d}$.

Il s'agit de la généralisation à l'espace des triplets pythagoriciens qui sont eux associés aux triangles rectangles.

Une famille infinie simple de quadruplets pythagoriciens est donnée par ${\displaystyle (n,n+1,n^{2}+n,n^{2}+n+1)}$ où ${\displaystyle n}$ est un entier strictement positif^[1].

Paramétrisation des quadruplets primitifs

Un quadruplet pythagoricien (a, b, c, d) est dit primitif si les quatre entiers ${\displaystyle a,b,c}$ et ${\displaystyle d}$ sont premiers entre eux dans leur ensemble. Tout quadruplet pythagoricien est un multiple entier d'un quadruplet primitif.

Les quadruplets pythagoriciens primitifs (a, b, c, d) avec a impair peuvent être paramétrés par les formules :$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{aligned}}}$$ où m, n, p, q sont des entiers strictement positifs de PGCD égal à 1 tels que m + n + p + q est impair et ${\displaystyle m^{2}+n^{2}>p^{2}+q^{2}}$ ^[2].

On vérifie en effet l'identité d''Euler-Rodrigues :$${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$$

Autre paramétrisation

Les quadruplets pythagoriciens (y compris les non-primitifs, et avec répétition, bien que a, b et c n'apparaissent pas dans tous les ordres possibles) peuvent être générés à partir de deux entiers strictement positifs a et b comme suit:

Si a et b sont de parité différente, soit p un facteur de ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ tel que ${\displaystyle p^{2}<a^{2}+b^{2}}$. Alors ${\displaystyle c={\frac {a^{2}+b^{2}-p^{2}}{2p}}}$, ${\displaystyle d={\frac {a^{2}+b^{2}+p^{2}}{2p}}=p+c}$.

Si ${\displaystyle a=2l}$ et ${\displaystyle b=2m}$ sont pairs, soit n un facteur de ${\displaystyle l^{2}+m^{2}}$ tel que ${\displaystyle n^{2}<a^{2}+b^{2}}$ . Alors ${\displaystyle c={\frac {l^{2}+m^{2}-n^{2}}{n}}}$, ${\displaystyle d={\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{n}}}$

Si a et b sont tous deux impairs, il n'y pas de solution, comme le montre la paramétrisation de la section précédente.

Propriétés

Le plus grand entier qui divise le produit abcd est égal à 12. Le quadruplet de produit minimal est (1, 2, 2, 3).

Étant donné un quadruplet pythagoricien ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, on appelle norme du quadruplet l'entier ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$, norme euclidienne du vecteur ${\displaystyle (a,b,c)}$.

Tout entier positif impair autre que 1 et 5 peut être la norme d'un quadruplet pythagoricien primitif^[3]. Les quadruplets pythagoriciens primitifs de normes les nombres impairs de 3 à 29 sauf 5 sont listés dans le tableau ci-dessous.

Tout quadruplet pythagoricien (a, b, c, d) génère un triangle de Héron (à côtés et aire entiers) ; ses côtés x, y, z sont donnés par^[4] : $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=d^{2}-a^{2}\\y&=d^{2}-b^{2}\\z&=d^{2}-c^{2}\end{aligned}}}$$Son demi-périmètre est ${\textstyle p=d^{2}}$, et son aire, obtenue par la formule de Héron, est ${\textstyle S=abcd}$. Le rayon du cercle inscrit est ${\textstyle r=abc/d}$, et les rayons des cercles exinscrits sont :$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{x}&=bcd/a,\\r_{y}&=acd/b,\\r_{z}&=abd/c.\end{aligned}}}$$ Le rayon du cercle circonscrit est : $${\displaystyle R={\frac {(d^{2}-a^{2})(d^{2}-b^{2})(d^{2}-c^{2})}{4abcd}}={\frac {abcd(1/a^{2}+1/b^{2}+1/c^{2}-1/d^{2})}{4}}}$$

La suite croissante des aires de ces triangles de Héron est répertoriée comme suite A367737 de l'OEIS.

Relation avec les quaternions et les matrices orthogonales rationnelles

Un quadruplet pythagoricien primitif (a, b, c, d) paramétré par (m, n, p, q) correspond à la première colonne de la représentation matricielle E(α) de la conjugaison α(⋅)α par le quaternion de Hurwitz α = m + ni + pj + qk restreinte au sous-espace des quaternions engendré par i, j, k ; cette matrice est $${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$$ où les colonnes sont orthogonales deux à deux et chacune a pour norme ${\displaystyle d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}}$. La matrice 1/dE(α), dite matrice d'Euler-Rodrigues, appartient au groupe orthogonal ${\displaystyle SO(3,\mathbb {Q} )}$, et on obtient toute matrice orthogonale à coefficients rationnels de cette manière.

Quadruplets pythagoriciens primitifs de normes de 3 à 29

Les 31 quadruplets pythagoriciens primitifs dont les éléments sont inférieurs à 30, ordonnés (en colonnes) suivant les ${\displaystyle d}$ croissant, puis les ${\displaystyle a}$ croissant, enfin les ${\displaystyle b}$ croissant :

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

Voir aussi

• Brique d'Euler
• Formule d'Euler-Rodrigues
• Quaternions et rotation dans l'espace
• Rotation en dimension 4
• Théorème des quatre carrés de Lagrange (tout entier naturel est somme de quatre carrés)
• Théorème des trois carrés de Legendre