Rayon de Bohr

Dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, le rayon de Bohr est la longueur caractéristique séparant l'électron du proton. C'est donc un ordre de grandeur du rayon des atomes.

Image reprenant le modèle de Bohr.

On retrouve ce rayon de Bohr également par l'approche quantique de la description de l'atome, où il représente la valeur moyenne dans le temps de la distance entre l'électron et le proton.

L'éponyme^[1] du rayon de Bohr est le physicien danois Niels Bohr (1885-1962). La grandeur ainsi désignée car elle correspond à la quantité que Bohr a introduite en 1913^[1] dans son modèle de l'atome d'hydrogène, pour exprimer le rayon de l'orbite électronique de plus basse énergie^[2]. Le symbole du rayon de Bohr est ${\displaystyle a_{0}}$^[3],[4]. Sa dimension est celle d'une longueur^[4]. Il est l'unité de longueur du système d'unités atomiques^[5].

Le rayon de Bohr est donné par^[3],[4] :

${\displaystyle a_{0}={\frac {\hbar }{\alpha m_{e}c}}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}}$,

où^[4] :

• ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite ;
• ${\displaystyle \alpha }$ est la constante de structure fine ;
• ${\displaystyle m_{e}}$ est la masse de l'électron ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ est la permittivité diélectrique du vide ;
• ${\displaystyle e}$ est la charge élémentaire.

Le Comité de données pour la science et la technologie (CODATA) recommande la valeur numérique suivante^[3] :

${\displaystyle a_{0}=5{,}291\,772\,109\,03\!\left(80\right)\times 10^{-11}\mathrm {m} }$

soit, en picomètres (pm) et en ångström (Å) :

${\displaystyle a_{0}=52{,}917\,721\,090\,3\!\left(80\right)\mathrm {pm} }$

${\displaystyle a_{0}=0{,}529\,177\,210\,903\!\left(80\right)\mathrm {\AA} }$

Note : dans le Système d'unités atomiques, il est courant de poser ${\displaystyle q^{2}=q_{e}^{2}/(4\pi \varepsilon _{0})}$

Dans ces conditions, par simple analyse dimensionnelle de ce système basé sur {${\displaystyle \hbar ,m_{e},q^{2}}$}, l'unité de longueur est ${\displaystyle a_{0}={\hbar ^{2} \over m_{e}q^{2}}}$, ce que certains trouvent plus facile à retenir.

De même, la vitesse de Bohr, ${\displaystyle v={q^{2} \over \hbar }=c\cdot \alpha }$ est aisée à retenir.

L'article atome de Bohr explique dans quel contexte ce rayon de Bohr apparaît dans la théorie.

Le rayon d'un atome d'hydrogène se calcule de la même façon, à la différence qu'on utilise la masse réduite ${\displaystyle m_{r}={\tfrac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}}$ au lieu de la masse de l'électron ${\displaystyle m_{e}}$ (${\displaystyle m_{p}}$ étant la masse du noyau, souvent un proton seul). Ainsi : ${\displaystyle r={\frac {\hbar }{\alpha m_{r}c}}}$.