Tableau triangulaire

En mathématiques et en informatique, un tableau triangulaire de nombres, ou de polynômes est une suite doublement indexée présentée dans un tableau où chaque ligne a une longueur proportionnelle à son rang.

• 
  Triangle de Pascal
• 
  Triangle de Delannoy
• 
  Triangle trinomial

Définition et présentations

Le tableau peut être défini mathématiquement par une suite double ${\displaystyle (T_{n,k})}$, les entiers ${\displaystyle n,k}$ vérifiant en général ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$; mais il peut y avoir des variantes, voir par exemple le triangle trinomial.

Présentation en escalier

k n	0	1	2
0	${\displaystyle T_{0,0}}$
1	${\displaystyle T_{1,0}}$	${\displaystyle T_{1,1}}$
2	${\displaystyle T_{2,0}}$	${\displaystyle T_{2,1}}$	${\displaystyle T_{2,2}}$

La ligne d'indice n (qui est la ${\displaystyle n+1}$-ième) est alors le ${\displaystyle n+1}$-uplet ${\displaystyle (T_{n,0},...,T_{n,n})}$, et la colonne d'indice k (qui est la ${\displaystyle k+1}$-ième) est la suite ${\displaystyle (T_{n,k})_{n\geqslant 0}}$.

Présentation pyramidale, ou "en quinconce"

Les lignes sont alors présentées de façon symétrique par rapport à leur centre :

			${\displaystyle T_{0,0}}$
		${\displaystyle T_{1,0}}$		${\displaystyle T_{1,1}}$
	${\displaystyle T_{2,0}}$		${\displaystyle T_{2,1}}$		${\displaystyle T_{2,2}}$
${\displaystyle T_{3,0}}$		${\displaystyle T_{3,1}}$		${\displaystyle T_{3,2}}$		${\displaystyle T_{3,3}}$

Les "colonnes" du cas précédent sont alors les rangées parallèles au bord gauche.

Exemples

Parmi les exemples notables, on peut citer :

• Le triangle de Bell, dont les termes dénombrent certaines partitions d'un ensemble^[1].
• Le triangle de Bernoulli, donnant les sommes partielles des lignes du triangle de Pascal.
• Le triangle du boustrophédon permettant d'obtenir les développements de fonctions tangente et sécante.
• Le triangle de Catalan^[2].
• le triangle de Delannoy.
• Le triangle des dérangements partiels.
• Le triangle d'Euler, dont les termes dénombrent les permutations avec un certain nombre de montées^[3].
• Le triangle fibonomial.
• Le triangle de Floyd, dont les entrées sont les entiers dans l'ordre^[4].
• Le triangle harmonique de Leibniz.
• Le triangle de Hosoya, basé sur les nombres de Fibonacci^[5].
• Le triangle des nombres hyperoctaédriques.
• Le triangle de Lah.
• Le triangle de Lozanić (en), utilisé dans les mathématiques des composés chimiques^[6].
• Le triangle de Narayana^[7].
• Le triangle des nombres de partitions d'un entier en k parties
• Le triangle de Pascal, dont les entrées sont les coefficients binomiaux^[8].
• Le triangle de Pascal (2,1).
• Le q-analogue du triangle de Pascal.
• Le triangle de Rascal.
• Le triangle des nombres de surjections.
• Les triangles des nombres de Stirling (de première et deuxième espèce).
• Le triangle trinomial (où la longueur de chaque ligne est le double de son ordre moins 1).

Généralisations

Les tableaux triangulaires peuvent énumérer des objets mathématiques autres que des nombres ; par exemple, les polynômes de Bell forment un tableau triangulaire dans lequel chaque entrée est un polynôme^[9].

Une suite triplement indexée peut être représentée en tétraèdre, comme par exemple le tétraèdre de Pascal, et une suite à ${\displaystyle d}$ indices, représentée par un d-simplexe.

Applications

Outre la représentation des matrices triangulaires, les tableaux triangulaires sont utilisés dans plusieurs algorithmes. Un exemple est l'algorithme CYK pour l'analyse de grammaires non-contextuelles, un exemple de programmation dynamique^[10].

La méthode de Romberg peut être utilisée pour estimer la valeur d'une intégrale définie en remplissant les valeurs dans un triangle de nombres^[11].

La transformation du Boustrophédon utilise un tableau triangulaire pour transformer une suite d'entiers en une autre^[12].

Articles connexes

• Nombre triangulaire