Xcas

Xcas (se prononce /ikskas/) est un logiciel libre^[1] et open source^[2] de calcul formel pour

• Microsoft Windows^[3]
• Apple macOS^[3]
• Linux et Unix^[4]
• FreeBSD^[5]
• Android^[6]
• en ligne^[7]

Xcas

Informations

Développé par	Bernard Parisse
Première version	2000
Dernière version	1.5.0 (décembre 2018)
Dépôt	sourceforge.net/p/xcas/code/HEAD/tree
Écrit en	C++
Système d'exploitation	Linux, Microsoft Windows et macOS
Environnement	Microsoft Windows, Linux, Mac OS X, FreeBSD
Type	Calcul formel
Licence	Licence publique générale GNU
Site web	site officiel

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Xcas est une interface de Giac, une bibliothèque C++^[8] de calcul formel libre (licence GPL). Giac dispose d'un mode de compatibilité avec les logiciels comme Maple, Matlab^[9], WolframAlpha^[10] , Python, Mathematica, MuPAD, Yacas, Qcas, WordMat (pour Microsoft Word), CPMP-Tools, ExpressionsinBar (64 bit app pour macOS)^[11], les calculatrices TI CE, TI-89, TI-92, Voyage 200 et TI-Nspire^[12]. On peut donc utiliser Giac/Xcas aussi bien comme un logiciel gratuit compatible avec Maple, pour développer des algorithmes de calcul formel, ou l'utiliser dans un autre logiciel…

Xcas pour Firefox est une version de Xcas utilisable sans installation depuis un navigateur Web.

Xcas est intégré au complément CmathOOoCAS qui permet d'effectuer du calcul formel dans le tableur Calc et dans le traitement de textes Writer de la suite bureautique OpenOffice.org. Il est développé par Bernard Parisse^[13] et l'université Joseph-Fourier de Grenoble^[14].

Giac/Xcas est la partie calcul formel du logiciel GeoGebra.

Giac/Xcas est porté sur certaines calculatrices sous le nom de KhiCAS:

• Casio Graph 35+eii et Casio Graph 90
• HP Prime (dont Giac est le moteur de calcul)
• NumWorks où il est utilisable en tant qu'application externe (pas en mode examen).
• TI-Nspire CX et CX II (à condition d'être compatible avec le jailbreak Ndless) - il est utilisable en mode examen sur les TI Nspire CX, mais pas sur les CX II.
• TI-83 Premium CE / TI-84 Plus CE (sous forme d'app tierce non-officielle)

Capacités

Voici un bref aperçu de ce que Xcas est capable de faire :

• calcul formel ;
• géométrie dans le plan^[15] ;
• géométrie dans l'espace^[15] ;
• tableur ;
• statistiques ;
• graphiques ;
• programmation.

calcul de fraction sans dénominateur commun.

Résolution d'équations différentielles avec Xcas.

Quelques exemples

Simulation de la chute d'un objet

On utilise les fonctions préprogrammées suivantes :

• int() qui renvoie la primitive d'une fonction.
• unapply() qui permet d'évaluer une expression selon un paramètre.
• solve() qui permet de résoudre une équation.
• plot() qui permet de créer et afficher un graphique.
• string() qui permet de transformer un objet (exemple : nombre entier) en une chaine de caractères.
• diff() Différenciation de la fonction.
• split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2] Séparation des variables.
• desolve() résoudre l'équation différentielle^[16] (voir l'illustration).
• factor() Polynôme d'affacturage.
• nPr() calculer les permutations.
• nCr() calculer des combinaisons.
• sqrt() racine carrée.
• cross([1,2,3],[4,3,2]) = [-5,10,-5] calculer le produit croisé de deux vecteurs
• mean([3,4,2]) = 3 calculer la moyenne
• stddev([3,4,2]) = sqrt(2/3) calculer l'écart type
• variance([3,4,2]) = 2/3 calculer la variance
• det([1,2],[3,4]) = -2 calculer le déterminant d'une matrice
• extrema(-2*cos(x)-cos(x)^2,x) = [0],[pi] calculer les extrema locaux d'une fonction
• line(x=1) = la ligne verticale x=1 tracez une ligne verticale dans le système de coordonnées

Trouver plus de commandes ici : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf

Premier modèle : Une chute sans frottement

Première méthode : fonction qui retourne un nombre (la vitesse à l'impact)

On sait que la gravité terrestre nous fournit une accélération de 9,81 m s⁻², donc il suffit de l'intégrer deux fois pour avoir la position.

À la ligne 6, on remplit L avec deux solutions : une négative et une positive. On ne prendra que la solution positive, qui se trouve être la deuxième (on utilisera l'indice 1, c'est-à-dire L[1] (L'indice 0 étant la première solution)).

Code utilisé :

vitesse_chute_1_1(h):={
  local a,v,x,L,temps_chute;
  a(t):=9.81;
  v:=unapply(int(a(t),t),t);
  x:=unapply(int(v(t),t),t);
  L:=solve(x(t)=h,t);
  temps_chute:=L[1]
  retourne v(temps_chute);
}:;

On a donc ici l'appel de la fonction :

vitesse_chute_1_1(9)

Qui renvoie :

13.2883407542

Qui est bien sûr la vitesse (en m s⁻¹) que l'objet atteint au niveau du sol après une chute sans frottement d'une hauteur de 9 m.

Deuxième méthode : fonction qui retourne une phrase et un graphique

On garde la même structure que la fonction vitesse_chute_1_1, mais on ajoute une phrase et un graphique. On met un moins devant la vitesse et la position, car l'objet tombe vers le bas, qui est considéré négatif (l'altitude étant positive vers le haut).

Code utilisé :

vitesse_chute_1_2(h):={
  local a,v,x,L,temps_chute;
  a(t):=9.81;
  v:=unapply(int(a(t),t),t);
  x:=unapply(int(v(t),t),t);
  L:=solve(x(t)=h,t);
  temps_chute:=L[1];
  title="Altitude et vitesse en fonction du temps";
  plot(-x(t),t,0,temps_chute,couleur=2+line_width_6);
  plot(-v(t),t,0,temps_chute,couleur=1+line_width_6);
  retourne "Chute de "+string(h)+" mètres : Vitesse au niveau du sol après "+string(temps_chute)+" secondes de chute : "+string(v(temps_chute))+" m.s^(-1) = "+string(v(temps_chute)*3.6)+" km.h^(-1)";
}:;

On a donc l'appel de la fonction :

vitesse_chute_1_2(9)

Qui renvoie :

Ainsi qu'un graphique :

Vitesse (rouge) et position (vert) d'un objet faisant une chute de 9 mètres sans frottement (dans une gravité terrestre).

Deuxième modèle : Une chute dans l'air avec frottement du type proportionnel (à la vitesse) : ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{f}}}=-k{\overrightarrow {v}}}$

Cette fois ci, on prend en compte la force de frottement ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{f}}}=-k{\overrightarrow {v}}}$ : les fonctions donnant la vitesse et la position ont été calculées manuellement, grâce au principe fondamental de la dynamique.

On trouve les fonctions (du temps) suivantes :

• ${\displaystyle v_{x}(t)=\tau g(e^{-{\frac {t}{\tau }}}-1)}$
  • Avec ${\displaystyle {\begin{cases}\tau ={\frac {m}{k}}\\v(0)=0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=\tau ^{2}g(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})-\tau gt}$
  • Avec ${\displaystyle {\begin{cases}\tau ={\frac {m}{k}}\\x(0)=0\end{cases}}}$

NB : On prend ${\displaystyle k=12.4}$ en supposant que ${\displaystyle m=70}$ et que la vitesse terminale (vitesse maximale lors de la chute) de cette masses est de 200 km h⁻¹.

De plus, on ne met pas de moins devant la vitesse et la position, car le signe a déjà été pris en compte dans la réalisation des formules.

Code utilisé :

vitesse_chute_2(h):={
  local g,v,x,L,temps_chute;
  g:=9.81:;
  k:=12.4;
  m:=70:;
  v:=unapply((m*g)/k*(exp((-t)*(k/m))-1),t);
  x:=unapply(g*(m/k)^2*(1-e^((-t)*(k/m)))-(m*g*t)/k,t):;
  L:=solve(x(t)=-h,t)
  temps_chute:=L[0];
  title="Chute de 70 kg de 9 mètre : altitude (vert) et vitesse (rouge) en fonction du temps : (épais = sans frottement ; fin = avec frottements)";
  plot(v(t),t,0,temps_chute,couleur=1);
  plot(x(t),t,0,temps_chute,couleur=2);
  retourne 0;
}:;

On a donc l'appel de la fonction :

vitesse_chute_2(9)

Qui renvoie :

0

(Qui est juste présent pour vérifier que la fonction a été lue jusqu'au bout.)

Ainsi qu'un graphique :

Vitesse (rouge) et position (vert) d'un objet faisant une chute de 9 mètres avec frottement proportionnel à la vitesse (dans une gravité terrestre).

Superposition des deux modèles

Vitesse (rouge) et position (vert) d'un objet de 70 kg faisant une chute de 9 mètres avec (trais fins) et sans (trais épais) frottement proportionnel à la vitesse, ceci dans une gravité terrestre.

On constate que les deux graphiques (avec et sans frottement) sont effectivement différents ; l'accélération n'est pas constante dans le cas du frottement : la vitesse (rouge) tend à se stabiliser (pour devenir horizontale).