recta á que se aproxima continuamente a gráfica dunha función From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemáticas, chámase asíntota da gráfica dunha función, a unha recta á que se aproxima continuamente a gráfica desa función,[1] é dicir, que a distancia entre as dúas tende a cero a a medida que se estenden indefinidamente.
A palabra asíntota deriva do grego: ἀσύμπτωτος asýmptōtos, «aquilo que non cae»; onde a- posúe un valor privativo (= non), mentres que sym-ptōtos indica aquilo que «cae» ou «cae xunto (a algo)». Adoita darse a definición de asíntota como curvas que «non se encontran nunca». Esta interpretación intuitiva foi plasmada por Apolonio de Perga no seu coñecido tratado Sobre as seccións cónicas, para referirse a unha recta que non interseca unha rama dunha hipérbole.[2]
En xeometría, o comportamento asintótico refírese a unha eventual propiedade entre curvas, e máis precisamente, entre funcións ou partes de funcións: segmentos de recta, ramas de hipérbole ou de parábola etc. É neste sentido en que se fala de «recta asintótica» como tanxente ao infinito dunha rama parabólica, ou ben de curvas asintóticas.
O seu estudo máis profundo desborda o campo de aplicación da xeometría elemental e o trazado de curvas planas; co desenvolvemento da álxebra e do cálculo infinitesimal, as nocións intuitivas «tende a infinito» e «tende a cero» formalízanse co concepto de límite matemático, e con iso tamén o cálculo de asíntotas.
As asíntotas axudan á representación de curvas, proporcionan un soporte estrutural e indican o seu comportamento a longo prazo. En tanto que liñas rectas, a ecuación dunha asíntota é simplemente a dunha recta, e a súa expresión analítica dependerá da elección do sistema de referencia (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Se ben adoitan representarse nun mesmo sistema de coordenadas, as asíntotas non forman parte da expresión analítica da función, polo que -en numerosos exemplos- non están incluídas explicitamente dentro da gráfica, ou ben indícanse cunha liña punteada.
En moitos casos, as asíntotas coinciden cos eixes de coordenadas, é dicir que as súas ecuacións en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Distínguense tres tipos:
En análise, cálculo e xeometría analítica, o comportamento de funcións non triviais nas proximidades de puntos de «indefinición» (tales como a división por cero ou as formas indeterminadas) proporciona información valiosa sobre a súa gráfica, e neste contexto as asíntotas xorden naturalmente como «solucións» (ou direccións) nestes puntos. Neste sentido, unha función pode ter unha «asíntota pola dereita» pero non pola esquerda (ou viceversa); ou ben unha recta pode intersecar unha curva nun número finito (ou infinito) de puntos, e presentar aínda así un comportamento asintótico.
Chámase asíntota vertical dunha rama dunha curva y = f(x), á recta paralela ao eixe e que fai que a rama desa función tenda a infinito. Se existe algún destes dous límites:
a recta x = a denomínase asíntota vertical.
Exemplos: logaritmo neperiano, tanxente
Chámase asíntota horizontal dunha rama dunha curva y = f(x) á recta paralela ao eixe x que fai que a rama desa función tenda a infinito. Se existe o límite:
a recta y = a é unha asíntota horizontal.
Exemplos: función exponencial, tanxente hiperbólica
A recta de ecuación y = mx + b (m ≠ 0) será unha asíntota oblicua se: .
Os valores de m e de b calcúlanse coas fórmulas: ; .
Na representación gráfica dunha función racional ten un papel esencial, cando existen, as asíntotas. Se ben é posible aplicar o método por límites descrito anteriormente, no caso de funcións racionais, adoitan empregarse técnicas algorítmicas que non precisan da análise matemática.
Unha función racional pode ter máis dunha asíntota vertical, pero só unha que sexa horizontal ou oblicua (é dicir que se ten asíntota horizontal entón non pode ter asíntota oblicua, e viceversa).
Para maior claridade, sexa:
As asíntotas verticais danse nos valores que anulan o denominador pero non o numerador. Se hai unha raíz común, compárase a multiplicidade das raíces.
As asíntotas a unha curva descrita por unha ecuación en coordenadas polares , son as curvas que se obteñen cando r ou θ tenden a infinito ou cara a un valor dado.
Unha curva polar terá unha dirección asintótica cando, para dado,
A curva ten entón unha recta asintótica se existe un real λ tal que
e achégase á recta de ecuación
Unha curva polar terá un círculo asintótico se existe un dado, tal que
A curva enrólase sobre o círculo de ecuación se na veciñanza de θ entón a curva enrólase ao interior do círculo asintótico; inversamente, se , entón enrólase ao exterior.
As máis variadas funcións posúen comportamento asintótico: dende a simple gráfica dunha curva plana en dúas dimensións, ata superficies tridimensionais máis complexas; tanto en funcións alxébricas (polinómicas, racionais) como transcendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciais), xa sexa en coordenadas cartesianas, polares etc.
As asíntotas actúan como curvas guía para graficar outras curvas, ou funcións.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.