Logaritmo natural

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática e, que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a 2.718281828459. O logaritmo natural de x escríbese xeralmente como ln x, log_e x, ou ás veces, se a base e está implícita, simplemente log x. ^[1] Ás veces engádense parénteses para claridade, dando ln(x), log_e(x) ou log(x). Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.

Gráfica da función logaritmo natural. A función medra lentamente cara ao infinito positivo segundo x aumenta, e vai lentamente cara ao infinito negativo cando x aproxima a 0

O logaritmo natural de x é a potencia á que habería que elevar e para igualar x. Por exemplo, ln 7.5 é 2.0149... , porque e^2.0149... = 7.5. O logaritmo natural de e, ln e, é 1, porque e¹ = e, mentres que o logaritmo natural de 1 é 0, xa que e⁰ = 1.

O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo a como a área baixo a curva y = 1/x de 1 a a ^[2] (sendo a área negativa cando 0 < a < 1 ). A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.

A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma: ^[3] $${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só e. No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, ${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$.

Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.

Definicións

O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.

Inversa de exponencial

A definición máis xeral é como a función inversa de ${\displaystyle e^{x}}$, para que ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$. Para os números complexos, ${\displaystyle e^{z}}$ non é invertíbel, polo tanto ${\displaystyle \ln(z)}$ é unha función multivalor. Para facer ${\displaystyle \ln(z)}$ unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$.

Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como ${\displaystyle \ln(z)=ln|z|+i\arg(z)}$ onde ${\displaystyle |z|}$ é o módulo do complexo e ${\displaystyle \arg(z)}$ é o argumento do complexo, por exemplo ${\displaystyle \ln(3+4i)=1.6094+0.9273i}$.

Definición como integral

ln a como a área da rexión sombreada baixo a curva f(x) = 1/x de 1 a a. Se a é menor que 1, a área considerada é negativa.

A área baixo a hipérbole cumpre a regra do logaritmo. Aquí A(s,t) denota a área baixo a hipérbole entre s e t.

O logaritmo natural dun número real positivo a pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación y = 1/x entre x = 1 e x = a. Esta é a integral ^[2] $${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$Se a está dentro do intervalo ${\displaystyle (0,1)}$, entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.

O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: $${\displaystyle \ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt}$$

Propiedades

O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{para }}\;x>0\;{\text{e }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{para }}\;x>0\;{\text{e }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{para }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{para }}\;x>0\;{\text{e }}\;y\neq 0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{para }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{para }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{para }}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{para }}\quad x\geq 0\;{\text{e }}\;\alpha \geq 1}$

Derivada

A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por ^[2] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

A maiores temos: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

polo tanto, a diferenza da súa función inversa ${\displaystyle e^{ax}}$, unha constante na función logaritmo non altera o diferencial.

Serie

Os polinomios de Taylor para ln(1 + x) só proporcionan aproximacións precisas no intervalo −1 < x ≤ 1. Máis aló dalgún x > 1, os polinomios de Taylor de grao superior son aproximacións cada vez peores.

Como o logaritmo natural non está definido en 0, ${\displaystyle \ln(x)}$ en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se ${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$ entón ^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Esta é a serie Taylor para ${\displaystyle \ln x}$ arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: $${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$ válido para ${\displaystyle |x|\leq 1}$ e ${\displaystyle x\neq -1.}$

Un caso especial útil para números enteiros positivos n, tomando ${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$, é: $${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito:^[5] $${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

Dous exemplos poden ser: $${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$

O logaritmo natural na integración

O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma ${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$; unha antiderivada de g(x) vén dada por ${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$. Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada da función elemental ${\displaystyle \ln |x|}$: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0.}$$

Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe ${\displaystyle x=0}$ temos $${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$ onde C é unha constante arbitraria de integración.^[6]

Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ temos

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

Por exemplo, considere a integral de ${\displaystyle \tan(x)}$ nun intervalo que non inclúe puntos onde ${\displaystyle \tan(x)}$ é infinito: $${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: $${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

Sexa: $${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$$${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$ daquela: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

Logaritmo natural de 10

O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a 2.30258509, xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: $${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo [1, 10).

Fraccións continuas

Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.

Logaritmos complexos

Artigo principal: Logaritmo complexo.

A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como e^z para calquera número complexo arbitrario z; simplemente úsase a serie infinita con x=z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas:

• ningún x ten e^x = 0;
• resulta que e^2πi = 1 = e⁰ e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, e^z = e^z+2kiπ, temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo z cos múltiples enteiros k.

Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de 2iπ. O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con ${\displaystyle k=0}$. Por exemplo, ${\displaystyle \ln(i)={\frac {\pi i}{2}}.}$

• Gráficos da función de logaritmo natural no plano complexo (rama principal)
• 
  z = Re(ln(x + yi))
• 
  z = |(Im(ln(x + yi)))|
• 
  z = |(ln(x + yi))|
• 
  Superposición das tres gráficas anteriores