From Wikipedia, the free encyclopedia
En teoría de categorías, unha categoría é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de obxectos, conectados uns con outros mediante frechas tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.
Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.
Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: Con refírese á categoría de conxuntos, Top refírese á categoría de espazos topolóxicos, Ab refírese á categoría de grupos abelianos etc.
Hai varias definicións equivalentes dunha categoría.[1] A máis habitual é a seguinte: unha categoría C consta de:
Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos:
Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto.
A noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría xeral das equivalencias naturais).[2]
Calquera categoría C pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase Cop.
Se C e D son categorías, pódese construír a categoría produto C × D: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de C e outro de D, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de C e outro de D. Estes pares poden tamén comporse.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.