Elemento neutro

En matemáticas, un elemento identidade ou elemento neutro dunha operación binaria é un elemento que deixa inalterados todos os elementos cando se aplica a operación.^[1][2] Por exemplo, 0 é un elemento identidade da adición dos números reais. Este concepto utilízase en estruturas alxébricas como grupos e aneis. O termo elemento identidade adoita acurtarse a identidade (como no caso da identidade aditiva e da identidade multiplicativa) cando non hai posibilidade de confusión, mais a identidade depende implícitamente da operación binaria á que estea asociada.

Definición

O elemento neutro ou elemento identidade dun conxunto A, dotado dunha operación binaria interna ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\star$ :\;A\times A&\to &A\\(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}}

é un elemento e do conxunto, tal que para calquera outro elemento a do conxunto cúmprese que:

${\displaystyle a\star e=e\star a=a}$

É dicir, un elemento neutro ten un efecto inútil ao ser utilizado na operación ${\displaystyle \star }$, no sentido de que o resultado non é distinto do outro operando.

Unha identidade con respecto á suma denomínase identidade aditiva (moitas veces denotada como ${\displaystyle 0}$) e unha identidade con respecto á multiplicación chámase identidade multiplicativa (a miúdo denotada como ${\displaystyle 1}$).

Un elemento e que cumpra só ${\displaystyle e\star a=a}$ denomínase elemento neutro pola esquerda. Analogamente, un elemento que cumpra só ${\displaystyle a\star e=a}$ chámaselle elemento neutro pola dereita.

Exemplos

Conxunto	Operación	Elemento neutro
números reais	suma e resta	0
números reais	multiplicación e división	1
funcións dun conxunto a si mesmo	composición de funcións	función identidade
matrices m×n	suma de matrices	matriz de ceros
matrices n×n	produto de matrices	matriz identidade
vectores	suma de vectores	vector nulo
cadeas de caracteres	concatenación de cadeas	cadea baleira