Cálculo multivariábel
cálculo de funcións de varias variábeis independentes From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.[1]

Remove ads
Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais
Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales
Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa
un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector onde o punto O é a orixe de coordenadas.
- con e . Cando tense un campo escalar. Para tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.
Límites e continuidade
Sexan e . Escríbese:
- ,
- ou ben,
- cando
- para expresar o seguinte:
onde é a norma euclidiana de . Expresándoo en función das compoñentes de
ou, de forma equivalente,
Dise que unha función é continua en
Teorema:
- a)
- b)
- c)
- (produto escalar de con ).
- d)
Teorema: Sexan e dúas funcións tales que a función composta está definida en , sendo
- é continua en e é continua en é continua en .
Derivadas direccionais
Derivada dun campo escalar respecto dun vector
Sexa . Sexa un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo e un vector arbitrario de . Defínese a derivada de f en respecto a como
Derivadas parciais
Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, , tense . Na práctica, calcularase derivando respecto a e supondo constante.
A diferencial
Definición de campo escalar diferenciábel
Dise que f é diferenciábel en
- .
- ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a.
A anterior ecuación é a fórmula de Taylor de primeira orde para .
Teorema de unicidade da diferencial
é diferenciábel en con diferencial
- a)
- b)
Regra da cadea
Sexa un campo escalar e . Defínese a función composta como , entón
Diferencial dun campo vectorial
Sexa un campo vectorial. Sexa e un vector calquera. Defínese a derivada
- }}
Expresando en función das súas compoñentes, tense
Dise que é diferenciábel , aplicación linear que verifica:
- .}}
- Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para .
A matriz de é a súa matriz jacobiana.
Diferenciabilidade implica continuidade
Se un campo vectorial é diferenciábel en é continuo en . Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.
Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais
Sexa un campo vectorial definido e diferenciábel en . A súa diferencial é
- }}
Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas
ambas as derivadas parciais existen e son continuas en .
Remove ads
Aplicacións do cálculo diferencial
Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares

Defínense os seguintes conceptos:
- Un campo escalar ten un máximo en existe unha n-bola
- Un campo escalar ten un mínimo en existe unha n-bola
- Un campo escalar ten un punto de sela
Para saber se é un dos casos anteriores:
- Obtense
- Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta .
- é definida positiva ten un mínimo relativo en .
- é definida negativa ten un máximo relativo en .
- é indefinida ten un punto de sela en .
No anterior supúxose que é continua
Remove ads
Notas
Véxase tamén
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads