Función diferenciábel

En matemáticas, unha función diferenciábel dunha variábel real é unha función cuxa derivada existe en cada punto do seu dominio. Unha función diferenciábel é suave (a función está localmente ben aproximada como unha función linear en cada punto interior) e non contén ningún salto ou cúspide.

Unha función diferenciábel

Se x₀ é un punto interior no dominio dunha función f, entón f dise que é diferenciábel en x₀ se a derivada ${\displaystyle f'(x_{0})}$ existe. f dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función ${\textstyle f}$. En xeral, f dise que é de clase ${\displaystyle C^{k}}$ se as súas primeiras ${\displaystyle k}$ derivadas ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ existen e son continuas sobre o dominio da función ${\textstyle f}$.

Para unha función multivariábel, como se mostra embaixo, a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais.

Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel

Unha función ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, definida nun conxunto aberto ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$, dise que é diferenciábel en ${\displaystyle a\in U}$ se a derivada

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existe. Isto implica que a función é continua en a.

Esta función f dise que é diferenciábel en U se é diferenciábel en cada punto de U. Neste caso, a derivada de f é así unha función de U en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Unha función dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección Clases de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade

Véxase tamén: Función continua.

A función valor absoluto é continua (é dicir, non ten ocos). É diferenciábel en todas as partes agás no punto x = 0, onde fai un xiro brusco ao cruzar o eixo y.

Unha cúspide na gráfica dunha función continua. En cero, a función é continua mais non diferenciábel.

Se f é diferenciábel nun punto x₀, entón f debe tamén ser continua en x₀. En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. O contrario non é certo: unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, cúspide ou tanxente vertical pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.

A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en case todos os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a función de Weierstrass.^[1]

Clases de diferenciabilidade

As funcións diferenciábeis poden ser aproximadas localmente por funcións lineares.

A función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ para ${\displaystyle x\neq 0}$ e ${\displaystyle f(0)=0}$ é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.

Artigo principal: Suavidade.

Unha función ${\textstyle f}$ dise que é continuamente diferenciábel se a derivada ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha descontinuidade de salto, é posíbel que a derivada teña unha descontinuidade esencial. Por exemplo, a función $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0\end{cases}}}$$ é diferenciábel en 0, xa que $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ existe. No entanto, para ${\displaystyle x\neq 0,}$ as regras de diferenciación implican $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ que non ten límite cando ${\displaystyle x\to 0.}$ Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o teorema de Darboux implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do teorema do valor intermedio.

De xeito similar a como as funcións continuas se din que son de clase ${\displaystyle C^{0},}$ as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de clase ${\displaystyle C^{1}}$. Unha función é de clase ${\displaystyle C^{2}}$ se a primeira e a segunda derivada da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de clase ${\displaystyle C^{k}}$ se as primeiras ${\displaystyle k}$ derivadas ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ existen e son continuas. Se as derivadas ${\displaystyle f^{(n)}}$ existen para todos os enteiros positivos ${\textstyle n,}$ a función é suave ou equivalentemente, de clase ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Diferenciabilidade en dimensións superiores

Unha función de varias variábeis reais f: R^m → Rⁿ dise que é diferenciábel nun punto x₀ se existe unha aplicación linear J: R^m → Rⁿ tal que

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Se unha función é diferenciábel en x₀, entón todas as derivadas parciais existen en x₀, e a aplicación linear J vén dada pola matriz jacobiana, unha matriz n × m neste caso.

Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha veciñanza dun punto x₀ e son continuas no punto x₀, entón a función é diferenciábel nese punto x₀.

No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direccionais) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función f: R² → R definida por

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{se }}y\neq x^{2}\\0&{\text{se }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

non é diferenciábel en (0, 0), pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{se }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{se }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

non é diferenciábel en (0, 0), mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen.

Véxase tamén: Cálculo multivariábel e Suavidade.

Diferenciabilidade en análise complexa

Artigo principal: Función holomorfa.

En análise complexa, a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir números complexos. Así, unha función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ dise que é diferenciábel en ${\textstyle x=a}$ cando

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, que é complexo-diferenciábel nun punto ${\textstyle x=a}$, é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$. Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

No entanto, unha función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo, ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis ${\displaystyle f(x,y)=x}$, mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$ non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).

Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase holomorfa nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito analítica.

Funcións diferenciábeis en variedades

Véxase tamén: Variedade diferenciábel.

Se M é unha variedade diferenciábel, unha función real ou complexa f en M dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p. Se M e N son variedades diferenciábeis, unha función f: M → N dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p e f(p).