Clase de conxugación

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, dous elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ dun grupo son ​​conxugados se hai un elemento ${\displaystyle g}$ no grupo de tal forma que ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ é unha relación de equivalencia cuxas clases chámanse clases de conxugación. Noutras palabras, cada clase de conxugación está pechada baixo ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ para todos os elementos ${\displaystyle g}$ do grupo.

Dous grafos de Cayley de grupos diédrico con clases de conxugación distinguidas pola cor.

Os membros da mesma clase de conxugación non se poden distinguir usando só a estrutura do grupo e, polo tanto, comparten moitas propiedades. O estudo das clases de conxugación dos grupos non abelianos é fundamental para o estudo da súa estrutura.^[1][2] Para un grupo abeliano, cada clase de conxugación é un conxunto que contén un único elemento (Conxunto unitario).

As funcións que son constantes para os membros da mesma clase de conxugación chámanse función de clase.

Definición

Sexa ${\displaystyle G}$ un grupo. Dous elementos ${\displaystyle a,b\in G}$ son conxugados se existe un elemento ${\displaystyle g\in G}$ tal que ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$, en cuxo caso ${\displaystyle b}$ chámase conxugado de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle a}$ conxugado de ${\displaystyle b}$.

No caso do grupo linear xeral ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$ das matrices invertíbeis, a relación de conxugación chámase matriz semellante.

Pódese demostrar facilmente que a conxugación é unha relación de equivalencia e, polo tanto, particiona ${\displaystyle G}$ en clases de equivalencia. (Isto significa que todos os elementos do grupo pertencen precisamente a unha clase de conxugación, e as clases ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$ e ${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ son iguais se e só se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son conxugadas, e disxuntas). A clase de equivalencia que contén o elemento ${\displaystyle a\in G}$ é

${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$

e chámase clase de conxugación de ${\displaystyle a.}$ O número de clase de ${\displaystyle G}$ é o número de clases de conxugación distintas (non equivalentes). Todos os elementos pertencentes á mesma clase de conxugación teñen a mesma orde.

Exemplos

O grupo simétrico ${\displaystyle S_{3},}$ que consiste nas 6 permutacións de tres elementos, ten tres clases de conxugación:

1. Sen cambios ${\displaystyle (abc\to abc)}$. O membro único ten orde 1.
2. Transposición de dous elementos ${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$. Os 3 membros teñen todos orde 2.
3. Unha permutación cíclica dos tres elementos ${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$. Os dous membros teñen orde 3.

Estas tres clases tamén corresponden á clasificación de isometrías dun triángulo equilátero.

Táboa que mostra ${\displaystyle bab^{-1}}$ para todos os pares ${\displaystyle (a,b)}$ con ${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ (compare lista numerada) Cada fila contén todos os elementos da clase de conxugación de ${\displaystyle a,}$ e cada columna contén todos os elementos de ${\displaystyle S_{4}.}$

O grupo simétrico ${\displaystyle S_{4},}$ que consiste nas 24 permutacións de catro elementos, ten cinco clases de conxugación, listadas coa súa descrición, tipo de ciclo, orde dos membros e membros:

1. Sen cambios. Tipo de ciclo = [1⁴]. Orde = 1. Membros = { (1, 2, 3, 4) }. A única fila que contén esta clase de conxugación móstrase como unha fila de círculos negros na táboa adxacente.
2. Trocando dous (outros dous permanecen sen cambios). Tipo de ciclo = [1²2¹]. Orde = 2. Membros = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). As 6 filas que conteñen esta clase de conxugación están resaltadas en verde na táboa adxacente.
3. Unha permutación cíclica de tres (a outra permanece sen cambios). Tipo de ciclo = [1¹3¹]. Orde = 3. Membros = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }. As 8 filas que conteñen esta clase de conxugación móstranse con letra normal (sen letra grosa nin resaltado en cor) na táboa adxacente.
4. Unha permutación cíclica das catro. Tipo de ciclo = [4¹]. Orde = 4. Membros = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). As 6 filas que conteñen esta clase de conxugación están resaltadas en laranxa na táboa adxacente.
5. Trocando dous e tamén os outros dous. Tipo de ciclo = [2²]. Orde = 2. Membros = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). As 3 filas que conteñen esta clase de conxugación móstranse con entradas en negra grosa na táboa adxacente.

As rotacións adecuadas do cubo, que poden caracterizarse por permutacións das diagonais do corpo, tamén se describen mediante conxugación en ${\displaystyle S_{4}.}$

En xeral, o número de clases de conxugación no grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ é igual ao número de particións enteiras de ${\displaystyle n.}$ Isto ocorre porque cada clase de conxugación corresponde exactamente a unha partición de ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ en ciclos de elementos, até a permutación dos elementos de ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

En xeral, o grupo euclidiano pódese estudar mediante a conxugación de isometrías no espazo euclidiano.

Exemplo

Sexa G = ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle a=(23)}$

${\displaystyle x=(123)}$

${\displaystyle x^{-1}=(321)}$

Daquela ${\displaystyle xax^{-1}}$

${\displaystyle =(123)(23)(321)}$

${\displaystyle =(31)}$ é Conxugado de ${\displaystyle (23)}$

Propiedades

• O elemento identidade é sempre o único elemento da súa clase, é dicir, ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Se ${\displaystyle G}$ é abeliano, entón ${\displaystyle gag^{-1}=a}$ para todos os ${\displaystyle a,g\in G}$, é dicir, ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$ para todos os ${\displaystyle a\in G}$ (e a inversa tamén é verdade: se todas as clases de conxugación son unitarias entón o grupo é abeliano).
• Se dous elementos ${\displaystyle a,b\in G}$ pertencen á mesma clase de conxugación (é dicir, se están conxugados), entón teñen a mesma orde. De xeito máis xeral, cada afirmación sobre ${\displaystyle a}$ pódese traducir nunha afirmación sobre ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ porque o mapa ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ é un automorfismo de ${\displaystyle G}$ chamado automorfismo interno. Vexa a seguinte propiedade para ver un exemplo.
• Se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son conxugados, entón tamén o son as súas potencias ${\displaystyle a^{k}}$ e ${\displaystyle b^{k}.}$ (Proba: se ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ entón ${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}}$).
• Un elemento ${\displaystyle a\in G}$ atópase no centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ de ${\displaystyle G}$ se e só se a súa clase de conxugación só ten un elemento, o propio ${\displaystyle a}$. De xeito máis xeral, se ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ denota o centralizador de ${\displaystyle a\in G,}$ é dicir, o subgrupo que consta de todos os elementos ${\displaystyle g}$ de tal forma que ${\displaystyle ga=ag,}$ entón o índice ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ é igual ao número de elementos na clase de conxugación de ${\displaystyle a}$ (polo teorema órbita-estabilizador).
• Tome ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ e sexan ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ os distintos enteiros que aparecen como lonxitudes de ciclos no tipo de ciclo de ${\displaystyle \sigma }$ (incluíndo 1 ciclos). Sexa ${\displaystyle k_{i}}$ o número de ciclos de lonxitude ${\displaystyle m_{i}}$ en ${\displaystyle \sigma }$ para cada ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ (de xeito que ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$). Entón, o número de conxugados de ${\displaystyle \sigma }$ é: ^[1]

${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$

Conxugación como acción de grupo

Para dous elementos calquera ${\displaystyle g,x\in G,}$ sexa

${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$

Isto define unha acción de grupo de ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle G.}$

• A órbita do elemento ${\displaystyle x}$ mediante esta acción é a súa clase de conxugación.
• O estabilizador dun subconxunto mediante esta acción é o normalizador dese subconxunto. Cando temos un único elemento ${\displaystyle x}$ entón temos o centralizador de ${\displaystyle x}$.^[3]

Do mesmo xeito, podemos definir unha acción de grupo de ${\displaystyle G}$ no conxunto de todos os subconxuntos de ${\displaystyle G,}$ escribindo

${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$

ou no conxunto dos subgrupos de ${\displaystyle G.}$

Ecuación de clase de conxugación

Se ${\displaystyle G}$ é un grupo finito, entón para calquera elemento de grupo ${\displaystyle a,}$ os elementos da clase de conxugación de ${\displaystyle a}$ están en correspondencia un a un con cosets do centralizador ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$ Observando que calquera elemento ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ pertencentes á mesma clase (e, polo tanto, ${\displaystyle b=cz}$ para algúns ${\displaystyle z}$ no centralizador ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$) dan lugar ao mesmo elemento ao conxugar ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$

Iso tamén se pode ver no Teorema órbita-estabilizador, cando se considera que o grupo actúa sobre si mesmo mediante a conxugación, de xeito que as órbitas son clases de conxugación e os subgrupos estabilizadores son centralizadores. A inversa tamén se cumpre.

Así, o número de elementos na clase de conxugación de ${\displaystyle a}$ é o índice ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ do centralizador ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ en ${\displaystyle G}$; de aí que o tamaño de cada clase de conxugación divida a orde do grupo.

A maiores, se escollemos un único elemento representativo ${\displaystyle x_{i}}$ de cada clase de conxugación, inferimos da disxunción das clases de conxugación que

${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$

onde ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ é o centralizador do elemento ${\displaystyle x_{i}.}$ Observando que cada elemento do centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ forma unha clase de conxugación que contén só a si mesmo dá lugar á ecuación de clase:^[4]

${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$

onde a suma é sobre un elemento representativo de cada clase de conxugación que non está no centro.

O coñecemento dos divisores da orde do grupo ${\displaystyle |G|}$ pódese empregar a miúdo para obter información sobre a orde do centro ou das clases de conxugación.

Exemplo

Considere un ${\displaystyle p}$-grupo ${\displaystyle G}$ (é dicir, un grupo con orde ${\displaystyle p^{n},}$ onde ${\displaystyle p}$ é un número primo e ${\displaystyle n>0}$). Imos demostrar que todo ${\displaystyle p}$-grupo finito ten un centro non trivial.

Dado que a orde de calquera clase de conxugación de ${\displaystyle G}$ debe dividir a orde de ${\displaystyle G,}$ dedúcese que cada clase de conxugación ${\displaystyle H_{i}}$ que non estea no centro tamén ten de orde algunha potencia de ${\displaystyle p^{k_{i}},}$ onde ${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$ Mais daquela a ecuación de clase esixe que ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ A partir disto vemos que ${\displaystyle p}$ debe dividir a ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$ polo que ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

En particular, cando ${\displaystyle n=2,}$ entón ${\displaystyle G}$ é un grupo abeliano xa que calquera elemento de grupo non trivial é de orde ${\displaystyle p}$ ou ${\displaystyle p^{2}.}$ Se algún elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle G}$ é de orde ${\displaystyle G}$ é de orde ${\displaystyle p^{2}}$ entón ${\displaystyle G}$ é isomorfo ao grupo cíclico de orde ${\displaystyle p^{2}}$, polo tanto abeliano.

Por outra banda, se cada elemento non trivial en ${\displaystyle G}$ é de orde ${\displaystyle p}$, daí pola conclusión anterior ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$ despois ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$ ou ${\displaystyle p^{2}.}$

Só necesitamos considerar o caso cando ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$ entón hai un elemento ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle G}$ que non está no centro de ${\displaystyle G.}$ Teña en conta que ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ inclúe ${\displaystyle b}$ e o centro que non contén ${\displaystyle b}$ pero polo menos ${\displaystyle p}$ elementos. Polo tanto, a orde de ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ é estritamente maior que ${\displaystyle p,}$ polo tanto ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$ polo tanto ${\displaystyle b}$ é un elemento do centro de ${\displaystyle G,}$ unha contradición. Polo tanto, ${\displaystyle G}$ é abeliano e, de feito, isomorfo ao produto directo de dous grupos cíclicos cada un de orde ${\displaystyle p.}$

Conxugación de subgrupos e subconxuntos xerais

De xeito máis xeral, dado calquera subconxunto ${\displaystyle S\subseteq G}$ (${\displaystyle S}$ non necesariamente un subgrupo), defina un subconxunto ${\displaystyle T\subseteq G}$ como o conxugado de ${\displaystyle S}$ se existe algún ${\displaystyle g\in G}$ tal que ${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$ Sexa ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ o conxunto de todos os subconxuntos ${\displaystyle T\subseteq G}$ de tal forma que ${\displaystyle T}$ é conxugado de ${\displaystyle S.}$

Un teorema de uso frecuente é que, dado calquera subconxunto ${\displaystyle S\subseteq G,}$ o índice de ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ (o normalizador de ${\displaystyle S}$) en ${\displaystyle G}$ é igual á cardinalidade de ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$:

${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$

Isto dedúcese de que, se ${\displaystyle g,h\in G,}$ entón ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ se e só se ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ noutras palabras, se e só se ${\displaystyle g{\text{ e }}h}$ están no mesmo coset de ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

Usando ${\displaystyle S=\{a\},}$ esta fórmula xeneraliza a dada anteriormente para o número de elementos nunha clase de conxugación.

O anterior é particularmente útil cando se fala de subgrupos de ${\displaystyle G.}$ Os subgrupos pódense dividir en clases de conxugación, con dous subgrupos pertencentes á mesma clase se e só se son conxugados.

Os subgrupos conxugados son isomorfos, mais os subgrupos isomorfos non teñen por que seren conxugados. Por exemplo, un grupo abeliano pode ter dous subgrupos diferentes que son isomorfos, mais nunca son conxugados.

Interpretación xeométrica

As clases de conxugación no grupo fundamental dun espazo topolóxico conexo por camiños poden considerarse como clases de equivalencia de bucles libres baixo homotopía libre.

Clase de conxugación e representacións irredutíbeis en grupo finito

En calquera grupo finito, o número de representacións irredutíbeis non isomorfas sobre os números complexos é precisamente o número de clases de conxugación.