Matriz semellante

En matemáticas, dise que dúas matrices cadradas A e B son semellantes se existe unha matriz invertíbel P tal que ${\displaystyle A=PBP^{-1}}$.

A semellanza é unha relación de equivalencia.

Dúas matrices son semellantes se e só se representan o mesmo endomorfismo dun espazo vectorial en dúas (posíbelmente) bases diferentes.

Non se debe confundir a noción de matrices semellantes coa de matrices equivalentes. Por outra banda, se dúas matrices son semellantes, entón son equivalentes. Unha forma de determinar se dúas matrices son semellantes é reducilas, é dicir, levalas a unha forma estándar: diagonal, forma canónica de Jordan ...

Invariantes de semellanza

As aplicacións sobre o espazo de matrices cadradas cuxo resultado é idéntico para unha matriz e unha matriz semellante a ela chámanse invariantes de semellanza.

O rango, o polinomio característico (en particular o determinante, os valores propios e a traza) e o polinomio mínimo son invariantes de semellanza, pero non forman un sistema completo, é dicir, non sempre son suficientes para detectar a non semellanza de dúas matrices.

A descomposición de Frobenius proporciona un sistema completo de invariantes de semellanza. Permítenos demostrar que calquera matriz cadrada é semellante á súa transposta.

Exemplo

As seguintes matrices son semellantes :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&-2\\5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&-2\\1&2\end{pmatrix}}}$ (a matriz compañeira do polinomio característico de ${\displaystyle A}$).

De feito, escollendo unha matriz de columna ${\displaystyle X}$ real distinta de cero. por exemplo ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}}$, a continuación, facendo ${\displaystyle Y=AX}$, ${\displaystyle Z=AY}$, operando temos

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}-6\\14\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}-16\\26\end{pmatrix}}}$

agora con

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}X&Y\end{pmatrix}}}$ (invertíbel) = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-6\\1&14\end{pmatrix}}}$,

conseguimos ${\displaystyle Z=-2X+2Y}$ así

${\displaystyle AP={\begin{pmatrix}Y&Z\end{pmatrix}}=PB}$.

Comprobamos operando:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&-2\\5&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-6\\1&14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6&-16\\14&26\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-6\\1&14\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-2\\1&2\end{pmatrix}}}$