Menor (álxebra linear)

determinante formado quitando k filas e columnas dunha matriz From Wikipedia, the free encyclopedia

Menor (álxebra linear)
Remove ads

En álxebra linealr, un menor dunha matriz A é o determinante dalgunha matriz cadrada máis pequena xerada a partir de A eliminando unha ou máis das súas filas e columnas. Os menores obtidos eliminando só unha fila e unha columna das matrices cadradas (menores primeiros) son necesarios para calcular os cofactores matriciais, que son útiles para calcular tanto o determinante como a inversa das matrices cadradas.

Thumb
É posíbel utilizar os menores de orde 2 dunha matriz de dimensión 3 para calcular o seu determinante.
Remove ads

Definición e exemplo

Menores primeiros

Se A é unha matriz cadrada, entón o menor da fila i e a columna j (tamén chamado menor (i, j) ou un menor primeiro ) é o determinante da submatriz formada eliminando a fila i e a columna j. Este número adoita denotarse Mi, j.

O cofactor (i, j) obtense multiplicando o menor por (1)i + j.

Para ilustrar estas definicións, considere a seguinte matriz 3×3,

Para calcular o menor M2,3 e o cofactor C2,3, atopamos o determinante da matriz anterior coa fila 2 e columna 3 eliminadas.

Polo tanto, o cofactor da entrada (2,3) é

Definición xeral

Sexa A unha matriz m × n e k un número enteiro con 0 < km, e kn. Un menor k × k de A, tamén chamado determinante menor de orde k de A, é o determinante dunha matriz k × k obtida de A eliminando mk filas e nk columnas. [1][2]

Remove ads

Aplicacións de menores e cofactores

Expansión en cofactores do determinante

Os cofactores ocupan un lugar destacado na fórmula de Laplace para a expansión dos determinantes, que é un método para calcular determinantes maiores en termos de determinantes máis pequenos. Dada unha matriz n × n, A = (aij), o determinante de A, denotado como det(A), pódese escribir como a suma dos cofactores de calquera fila ou columna da matriz multiplicada polas entradas que os xeraron. Noutras palabras, definindo entón a expansión do cofactor ao longo da j-ésima columna dá:

A expansión do cofactor ao longo da fila i-ésima dá:

Inversa dunha matriz

Pódese obter a inversa dunha matriz invertíbel calculando os seus cofactores usando a regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofactores dunha matriz cadrada A chámase matriz de cofactores:

Entón, a inversa de A é a transposición da matriz de cofactores multiplicada polo recíproco do determinante de A:

A transposta da matriz cofactor chámase matriz adxunta de A.

Remove ads

Unha observación sobre a notación

Nalgúns libros, en lugar de cofactor úsase o termo adxunto. Ademais, denomínase Aij e defínese do mesmo xeito que o cofactor: :

Usando esta notación a matriz inversa escríbese deste xeito:

Remove ads

Notas

Véxase tamén

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads