Matriz adxunta

Dada unha matriz cadrada A, a súa matriz adxunta é a trasposta da matriz cofactor cof(A). É o resultado de substituír cada termo a_ij de A polo cofactor a_ji de A.

Na terminoloxía matemática moderna, o nome de matriz adxunta é usado para a matriz transposta conxugada.^[1]

O termo matriz adxunta adj(A) adoita crear confusión, xa que en moitos tratados clásicos de álxebra linear correspóndese coa matriz cofactor transposta, ^{[1] [2] [3]} porén, noutros textos, correspóndese coa matriz cofactor, xa que chaman do mesmo xeito adxunto ao cofactor. ^{[4] [5]} A maiores, o símbolo adj( ) (do inglés adjugate) tamén se usa indistintamente con cof( ) para o cálculo nos elementos dunha matriz, provocando así unha maior confusión cada vez.^[6]

O principal interese da matriz adxunta é que permite calcular a inversa dunha matriz, xa que se cumpre a relación:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\;{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}$

onde adj(A) corresponde á matriz cofactor transposta, é dicir,

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {cof} (\mathbf {A} )^{T}=\mathbf {C} ^{T}\,}$.

No entanto, para matrices de grandes dimensións, este tipo de cálculo ten máis custo, en termos de operacións, que outros métodos como o método de eliminación gaussiana.

Definición e fórmulas de cálculo

Dada unha matriz ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ a súa matriz adxunta é a única matriz ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }$ tal que: ^[7]

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ^{T}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} }$

Dados os compoñentes explícitos da matriz: ${\displaystyle (a_{ij})=\mathbf {A} \in M_{n\times n}}$ para cada i e j defínese a matriz ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}(i,j)}$ como a matriz de orde ${\displaystyle \scriptstyle (n-1)}$ obtida de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ eliminando a fila i e a columna j. E defínese a cantidade:

${\displaystyle d_{ij}=(-1)^{i+j}\det {\tilde {\mathbf {A} }}(i,j)}$

E resulta que estas son precisamente as compoñentes da matriz de adxuntos (ou cofactores), é dicir, ${\displaystyle {\mbox{cof}}(\mathbf {A} )=(d_{ij})\,}$

Matrices 2 x 2

Dada unha matriz 2 x 2:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$

A súa matriz adxunta vén dada por:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{21}\\-A_{12}&A_{11}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\-A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}}}$

onde C é a matriz cofactor.

Matrices 3 x 3

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}}$

A súa matriz de cofactores vén dada por:

${\displaystyle {\mbox{cof}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}\\A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}\\A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}}$

e polo tanto a transposición da matriz cofactor é a matriz adxunta:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}^{T}}$

Exemplo

Un exemplo sería o seguinte:

${\displaystyle \operatorname {adj} \left({\begin{array}{rrr}2&1&0\\1&-1&1\\0&2&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&-2&-2\\2&-4&-3\end{array}}\right)}$

Propiedades

Dada unha matriz ${\displaystyle \mathbf {A} =(a_{ij})\in M_{n\times n}}$ definindo ${\displaystyle \mathbf {B} =(b_{ij})={\mbox{adj}}(A)}$ Pódese demostrar que os ${\displaystyle b_{ij}\,}$ pódense escribir como a suma de monomios de grao n nas compoñentes ${\displaystyle a_{ij}\,}$. Isto fai que o cálculo da matriz adxunta mediante a aplicación de fórmulas directas sexa complicado a medida que n aumenta, resultando computacionalmente moito custoso.

Se consideramos a operación de atopar a matriz adxunta como unha función: ${\displaystyle {\mbox{adj}}:M_{n\times n}\to _{n\times n}}$ resulta que esa función é continua. Isto pódese ver pola continuidade da función determinante. A maiores, ten outras propiedades interesantes:

• ${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ^{T})={\mbox{adj}}(\mathbf {A} )^{T}}$
• ${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} \mathbf {B} )={\mbox{adj}}(\mathbf {B} ){\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}$ ^[8]
• ${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {I} )=\mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} ^{T}=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} }$ para ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n\times n}}$ .
• ${\displaystyle {\mbox{adj}}(\lambda \mathbf {A} )=\lambda ^{n-1}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}$ para ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n\times n}}$ .
• ${\displaystyle {\mbox{adj}}({\mbox{adj}}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} }$ para ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n\times n}}$ .
• ${\displaystyle \det(\mathbf {A} )={\mbox{tr}}(\mathbf {A} \ {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ))/n}$ para ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n\times n}}$ .
• ${\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}\,}$ .

Se p (t) = det(A − t I) é o polinomio característico de A e definimos o polinomio q(t) = (p(0) − p (t))/t, entón:

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})}$

Onde ${\displaystyle p_{j}\,}$ son os coeficientes de p(t):

${\displaystyle p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}.}$

A función adxunta tamén aparece na fórmula para a derivada do determinante: ^[9]

${\displaystyle \det(\mathbf {A+H} )-\det(\mathbf {A} )={\mbox{tr}}({\mbox{adj}}(\mathbf {A} )\ \mathbf {H} )+o(\|\mathbf {H} \|)}$