Determinante (matemáticas)

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Determinante.

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Significado xeométrico

O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:

${\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'}$

A expresión xeométrica equivalente:

${\displaystyle \det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \operatorname {sen} \theta }$

onde ${\displaystyle \theta }$ é o ángulo formado polos vectores ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle X'}$.

O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, ${\displaystyle \det(A)=\pm {\text{vol}}(P).}$^[1]

Definición

Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.}$

As entradas ${\displaystyle a_{1,1}}$ etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.

O determinante de ${\displaystyle A}$ denotado como ${\displaystyle \det(A)}$, ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}}.}$

Fórmula de Leibniz

Regra de Sarrus (esquema mnemotécnico)

O determinante dunha matriz 3 × 3 é

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.}$

Por exemplo:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=(3\cdot (-4))-(7\cdot 1)=-19.}$

${\displaystyle A=\det {\begin{pmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =(-2\cdot 1\cdot (-1))+(-1\cdot 4\cdot (-3))+(2\cdot 2\cdot 3)-(2\cdot 1\cdot (-3))-(-1\cdot 2\cdot (-1))-(4\cdot 3\cdot (-2))=54.}$

Propiedades

Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices n × n que ten as catro propiedades seguintes:

1. O determinante da matriz identidade é 1.
     ${\displaystyle \left|I_{n}\right|=1}$;
2. O troco de dúas filas multiplica o determinante por −1.
3. Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):
     ${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$
4. Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.

Outras propiedades básicas

O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices ${\displaystyle 2\times 2}$, e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes.^[2]

• o determinante é cero se dúas filas son iguais:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.}$

tamén para dúas columnas.

• Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.}$

• O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta^[3]:
     ${\displaystyle \left|A\right|=\left|A^{T}\right|}$;
• Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante^[3]:
     ${\displaystyle \left|A^{-1}\right|={\frac {1}{\left|A\right|}}.}$

Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;

• O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet)^[4]:
     ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|}$
• O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde ${\displaystyle n}$ é igual a ese escalar, elevado a ${\displaystyle n}$, multiplicado polo determinante da matriz^[3]:
     ${\displaystyle \left|\lambda A\right|=\lambda ^{n}\left|A\right|,}$ onde ${\displaystyle n}$ é a orde da matriz ${\displaystyle A}$
• Se ${\displaystyle A}$ é ortogonal, entón ${\displaystyle \left|A\right|=\pm 1}$;^[5]
• Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal^[3][5]:

Sexa ${\displaystyle A}$ unha matriz triangular de orde ${\displaystyle n,}$ logo ${\displaystyle \left|A\right|=a_{1,1}a_{2,2}\cdots a_{n,n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i,i}}$;

• Se unha fila ou columna da matriz ${\displaystyle A}$ son todo ceros, daquela ${\displaystyle \left|A\right|=0}$;^[3]
• Se for sumado, a unha fila (ou columna) de ${\displaystyle A}$, un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de ${\displaystyle A}$ (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).^[6]