Constante de Euler-Mascheroni

En matemáticas, a constante de Euler-Mascheroni é un número que aparece na análise e na teoría dos números. Apareceu por primeira vez na obra do matemático suízo Leonhard Euler a principios do século XVIII.^[1]Adoita representarse coa letra grega ${\displaystyle \gamma }$ (gamma), aínda que Euler utilizou as letras C e O no seu lugar.

Constante de Euler-Mascheroni
A área en azul é igual a constante de Euler-Mascheroni.
Instancia de	constante matemática, número real e concepto matemático
Epónimo	Leonhard Euler e Lorenzo Mascheroni
Símbolo da cantidade	γ
Valor numérico	0,57721566490153
Fórmula ${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}$ ${\displaystyle \ln x}$ (logaritmo natural) ${\displaystyle \gamma }$ (constante de Euler-Mascheroni)
Invención
Inventor/a	Leonhard Euler
Data de invención	1734
Fontes e ligazóns
MathWorld	Euler-MascheroniConstant
Descrito pola fonte ISO 80000-2:2019
[ Wikidata ] [ C:Commons ]

Aínda non se sabe se o número é irracional (é dicir, non se pode escribir como unha fracción cun numerador e denominador enteiro) ou transcendental (é dicir, non pode ser a solución dun polinomio con coeficientes enteiros).^[2] O valor numérico de ${\displaystyle \gamma }$ é aproximadamente ${\displaystyle 0.5772156649}$.^[3][2] O matemático italiano Lorenzo Mascheroni tamén traballou co número, e intentou sen éxito aproximar o número a 32 decimais, cometendo erros en cinco díxitos.^[4]

É significativo porque vincula a serie harmónica diverxente co logaritmo natural. Vén dada pola diferenza límite entre o logaritmo natural e a serie harmónica:^[5]

${\displaystyle \gamma =\lim _{t\to \infty }\left(\sum _{n=1}^{t}{\frac {1}{n}}-\log(t)\right)}$

Tamén se pode escribir como unha integral impropia que inclúe a función chan, unha función que produce o maior enteiro menor ou igual a un determinado número.^[3]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor t\rfloor }}-{\frac {1}{t}}\right)\mathrm {d} t}$

A constante gamma está intimamente ligada á función Gamma,^[5] especificamente á súa derivada logarítmica, a función digamma, que se define como

${\displaystyle \mathrm {\Psi } _{0}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log(\Gamma (x))={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}}$

Para ${\displaystyle x=1}$, isto dá ^[5]

${\displaystyle \mathrm {\Psi } _{0}(1)=-\gamma }$

Usando as propiedades da función digamma, ${\displaystyle \gamma }$ tamén se pode escribir como límite.

${\displaystyle -\gamma =\lim _{t\to 0}\left(\mathrm {\Psi } _{0}(t)+{\frac {1}{t}}\right)}$