Conxunto infinito

Na teoría de conxuntos, un conxunto infinito é un conxunto que non é un conxunto finito. Os conxuntos infinitos poden ser numerábeis ou incontábeis (non numerábeis).^[1]

Imaxe da teoría de conxuntos

Propiedades

O conxunto de números naturais (cuxa existencia é postulada polo axioma do infinito) é infinito.^[1] É o único conxunto que require directamente os axiomas para ser infinito. A existencia de calquera outro conxunto infinito pódese probar na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), mais só mostrando que se deduce da existencia dos números naturais.

Un conxunto é infinito se e só se para cada número natural, o conxunto ten un subconxunto cuxa cardinalidade é ese número natural.^[2]

Se se cumpre o axioma de escolla, entón un conxunto é infinito se e só se inclúe un subconxunto infinito numerábel.

Se un conxunto de conxuntos é infinito ou contén un elemento infinito, entón a súa unión é infinita.

O conxunto potencia dun conxunto infinito é infinito.^[3] Calquera superconxunto dun conxunto infinito é infinito.

Se un conxunto infinito está dividido en moitos subconxuntos finitos, polo menos un deles debe ser infinito.

Calquera conxunto que se pode mapear nun conxunto infinito é infinito.

O produto cartesiano dun conxunto infinito e dun conxunto non baleiro é infinito.

O produto cartesiano dun número infinito de conxuntos, cada un contén polo menos dous elementos, é baleiro ou infinito; se se cumpre o axioma da escolla, entón é infinito.

Se un conxunto infinito é un conxunto ben ordenado, entón debe ter un subconxunto non baleiro e non trivial que non teña o maior elemento.

En ZF, un conxunto é infinito se e só se o conxunto de partes do seu conxunto de partes é un conxunto infinito de Dedekind, tendo un subconxunto propio equinúmero a si mesmo.^[4] Se o axioma da escolla tamén é certo, entón os conxuntos infinitos son precisamente os conxuntos infinitos de Dedekind.

Se un conxunto infinito é un conxunto ben ordenado, entón ten moitas relacións ben ordenadas que non son isomorfas.

Exemplos

Conxuntos numerábeis infinitos

O conxunto de todos os números enteiros, {..., − 1, 0, 1, 2, ...} é un conxunto infinito numerábel. O conxunto de todos os enteiros pares tamén é un conxunto infinito numerábel, aínda que sexa un subconxunto propio dos enteiros.^[3]

O conxunto de todos os números racionais é un conxunto numerábel infinito xa que hai unha bixección co conxunto de enteiros.^[3]

Conxuntos incontábeis infinitos

O conxunto de todos os números reais é un conxunto incontabelmente infinito. O conxunto de todos os números irracionais é tamén un conxunto incontabelmente infinito.^[3]