Corpo de fraccións

En álxebra abstracta, o corpo de fraccións dun dominio integridade é o corpo máis pequeno no que se pode mergullar. A construción do corpo de fraccións baséase na relación entre o dominio de integridade dos números enteiros e o corpo dos números racionais . Intuitivamente, consiste en relacións entre elementos integrais do dominio.

Non debe confundirse co cociente dun anel por un ideal, que é un concepto moi diferente.

Para un anel conmutativo que non é un dominio integridade, a construción análoga chámase localización ou anel de cocientes.

Definición

Dado un dominio de integridade ${\displaystyle R}$ e sendo${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$, definimos unha relación de equivalencia sobre ${\displaystyle R\times R^{*}}$ sendo ${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$ sempre que ${\displaystyle nb=md}$. Denotamos a clase de equivalencia de ${\displaystyle (n,d)}$ por ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$.

Esta noción de equivalencia está motivada polos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, que teñen a mesma propiedade en relación ao anel subxacente ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de enteiros.

Entón o corpo das fraccións é o conxunto ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$ con suma dada por

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

e multiplicación dada por

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

O corpo das fraccións de ${\displaystyle R}$ caracterízase pola seguinte propiedade universal:

se ${\displaystyle h:R\to F}$ é un homomorfismo de anel inxectivo de ${\displaystyle R}$ nun corpo ${\displaystyle F}$, entón existe un homomorfismo de anel único ${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$ que estende ${\displaystyle h}$.

Hai unha interpretación categórica desta construción. Sexa ${\displaystyle \mathbf {C} }$ a categoría de dominios de integridade e mapas inxectivos de aneis. O functor de ${\displaystyle \mathbf {C} }$ cara a categoría de corpos que leva cada dominio de integridade ao seu corpo de fraccións e cada homomorfismo ao mapa inducido sobre corpos (que existe pola propiedade universal) é o adxunto pola esquerda do functor de inclusión da categoría de corpos en ${\displaystyle \mathbf {C} }$. Así, a categoría de corpos (que é unha subcategoría completa) é unha subcategoría reflexiva de ${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Non se require unha identidade multiplicativa para o papel do dominio de integridade; esta construción pódese aplicar a calquera rng conmutativo distinto de cero ${\displaystyle R}$ sen divisores de cero distintos de cero. O mergullo vén dado por ${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$ para calquera ${\displaystyle s\in R}$ distinto de cero.^[1]

Exemplos

• O corpo de fraccións do anel de enteiros é o corpo dos racionais : ${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$ .
• Sexa ${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ o anel de enteiros gaussianos. Entón ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$ é o corpo dos racionais gaussianos.
• O corpo de fraccións dun corpo é canonicamente isomorfo ao propio corpo.
• Dado un corpo ${\displaystyle K}$, o corpo de fraccións do anel polinómico nunha variábel indeterminada ${\displaystyle K[X]}$ (que é un dominio de integridade), chámase corpo de funcións racionais, corpo de fraccións racionais ou corpo de expresións racionais ^[2][3][4][5] sendo denotado como ${\displaystyle K(X)}$ .
• O corpo de fraccións do anel de convolución das funcións de media recta produce un espazo de operadores, incluíndo a función delta de Dirac, o operador diferencial e o operador integral. Esta construción dá unha representación alternativa da transformada de Laplace que non depende explicitamente dunha transformada de integrais.^[6]

Localización

Para calquera anel conmutativo ${\displaystyle R}$ e calquera conxunto multiplicativo ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle R}$, a localización ${\displaystyle S^{-1}R}$ é o anel conmutativo formado por fraccións

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

con ${\displaystyle r\in R}$ e ${\displaystyle s\in S}$, onde ${\displaystyle (r,s)}$ é equivalente a ${\displaystyle (r',s')}$ se e só se existe ${\displaystyle t\in S}$ tal que ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$.

Destacan dous casos especiais:

• Se ${\displaystyle S}$ é o complemento dun ideal primo ${\displaystyle P}$, entón ${\displaystyle S^{-1}R}$ tamén se denota ${\displaystyle R_{P}}$.
  Cando ${\displaystyle R}$ é un dominio de integridade e ${\displaystyle P}$ é o ideal cero, ${\displaystyle R_{P}}$ é o corpo das fraccións de ${\displaystyle R}$.
• Se ${\displaystyle S}$ é o conxunto de elementos non divisores de cero en ${\displaystyle R}$, entón ${\displaystyle S^{-1}R}$ chámase anel cociente total.
  O anel cociente total dun dominio de integridade é o seu corpo de fraccións, pero o anel cociente total defínese para calquera anel conmutativo.