Anel cociente

Na teoría de aneis, unha rama da álxebra abstracta, un anel cociente, tamén coñecido como anel de factorización ou anel de clase de residuos, é unha construción bastante similar ao grupo cociente na teoría de grupos e ao espazo cociente na álxebra linear.^[1][2] É un exemplo específico de cociente, visto desde o escenario xeral da álxebra universal. Comezando cun anel ${\displaystyle R}$ e un ideal bilateral ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle R}$, constrúese un novo anel, o anel cociente ${\displaystyle R/I}$, cuxos elementos son as coclases de ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle R}$ suxeito a operacións específicas ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$ (A notación de anel cociente sempre usa unha barra de fracción "/".)

Os aneis cocientes son distintos do chamado "corpo cociente", ou corpo de fraccións, dun dominio de integridade, así como dos "aneis de cocientes" que son máis xerais e obtéñense por localización.

Construción formal do anel cociente

Dado un anel ${\displaystyle R}$ e un ideal bilateral ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle R}$, podemos definir unha relación de equivalencia ${\displaystyle \sim }$ en ${\displaystyle R}$ do seguinte xeito:

${\displaystyle a\sim b}$ se e só se ${\displaystyle a-b}$ está en ${\displaystyle I}$.

Usando as propiedades do ideal, non é difícil comprobar que ${\displaystyle \sim }$ é unha relación de congruencia. No caso ${\displaystyle a\sim b}$, dicimos que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son congruentes módulo ${\displaystyle I}$ (por exemplo, ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 3}$ son congruentes módulo ${\displaystyle 2}$ xa que a súa diferenza é un elemento do ideal ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, os enteiros pares). A clase de equivalencia do elemento ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle R}$ vén dada por:

${\displaystyle \left[a\right]=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$

Esta clase de equivalencia tamén se escribe ás veces como ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ e chámase a "clase de residuos de ${\displaystyle a}$ módulo ${\displaystyle I}$ ".

O conxunto de todas esas clases de equivalencia desígnase por ${\displaystyle R/I}$; convértese nun anel, o anel de factorización ou anel cociente de ${\displaystyle R}$ módulo ${\displaystyle I}$, se definimos as súas operacións específicas

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

O mapa ${\displaystyle p}$ dende ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle R/I}$ definido por ${\displaystyle p(a)=a+I}$ é un homomorfismo de aneis sobrexectivo, ás veces chamado mapa cociente natural ou homomorfismo canónico.

Exemplos

• Considere o anel de enteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e o ideal dos números pares, denotado por ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Daquela o anel cociente ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ten só dous elementos, a clase ${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$ composto polos números pares e a clase ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$ consistente en números impares; aplicando a definición, ${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$, onde ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ é o ideal dos números pares. É naturalmente isomorfo ao corpo finito con dous elementos, ${\displaystyle F_{2}}$. Intuitivamente: se pensamos en todos os números pares como ${\displaystyle 0}$, entón todo número enteiro é ${\displaystyle 0}$ (se é par) ou ${\displaystyle 1}$ (se é impar e, polo tanto, difire dun número par por ${\displaystyle 1}$). A aritmética modular é esencialmente aritmética no anel cociente ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ (que ten ${\displaystyle n}$ elementos).

• Agora consideremos o anel de polinomios na variábel ${\displaystyle X}$ con coeficientes reais, ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$, e o ideal ${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$ consistente en todos os múltiplos do polinomio ${\displaystyle X^{2}+1}$. O anel cociente ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ é naturalmente isomorfo ao corpo de números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$, coa clase ${\displaystyle [X]}$ desempeñando o papel da unidade imaxinaria ${\displaystyle i}$. A razón é que "forzamos" ${\displaystyle X^{2}+1=0}$, é dicir, ${\displaystyle X^{2}=-1}$, que é a propiedade definidora de ${\displaystyle i}$. Posto que calquera expoñente enteiro de ${\displaystyle i}$ debe ser ${\displaystyle \pm i}$ ou ${\displaystyle \pm 1}$, iso significa que todos os posíbeis polinomios simplifican esencialmente na forma ${\displaystyle a+bi}$. (Para aclarar, o anel cociente ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ é naturalmente isomorfo ao corpo de todos os polinomios lineares ${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$, onde se realizan as operacións módulo ${\displaystyle X^{2}+1}$. A cambio, temos ${\displaystyle X^{2}=-1}$, e isto é como facer coincidir ${\displaystyle X}$ coa unidade imaxinaria no corpo isomorfo dos números complexos).

• Xeneralizando o exemplo anterior, os aneis cocientes adoitan usarse para construír extensións dun corpo. Supoñamos que ${\displaystyle K}$ é algún corpo e ${\displaystyle f}$ é un polinomio irredutíbel en ${\displaystyle K[X]}$. Entón ${\displaystyle L=K[X]/(f)}$ é un corpo cuxo polinomio mínimo sobre ${\displaystyle K}$ é ${\displaystyle f}$, que contén ${\displaystyle K}$ e tamén un elemento ${\displaystyle x=X+(f)}$.

• Os aneis de variedades afíns (tamén chamadas variedades de coordenadas) das variedades alxébricas son exemplos importantes de aneis cocientes na xeometría alxébrica. Como caso sinxelo, considere a variedade real ${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$ como un subconxunto do plano real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. O anel de funcións polinómicas de valores reais definido en ${\displaystyle V}$ pódese identificar co anel cociente ${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}-Y^{3})}$, e este é o anel da variedade afín de ${\displaystyle V}$. Agora podemos investigar a variedade ${\displaystyle V}$ estudando o seu anel de coordenadas.

• Supoñamos que ${\displaystyle M}$ é unha variedade ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$, e ${\displaystyle p}$ é un punto de ${\displaystyle M}$. Considere o anel ${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$ de todas as funcións ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ definidas en ${\displaystyle M}$ e sexa ${\displaystyle I}$ o ideal en ${\displaystyle R}$ composto por esas funcións ${\displaystyle f}$ que son idénticamente nulas nalgúnha veciñanza ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle p}$ (onde ${\displaystyle U}$ pode depender de ${\displaystyle f}$). Daquela o anel cociente ${\displaystyle R/I}$ é o anel dos xermolos de funcións ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ sobre ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle p}$.

Variacións de planos complexos

Os cocientes ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X)}$, ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$, e ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ son todos isomorfos a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e teñen pouco interese en principio. Mais consideremos ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2})}$, chamado plano numérico dual en álxebra xeométrica. Consta só de binomios lineares como "restos" despois de reducir un elemento de ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ por ${\displaystyle X^{2}}$. Esta variación dun plano complexo xorde como unha subálxebra sempre que a álxebra contén unha recta real e un nilpotente.

A maiores, o cociente do anel ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)}$ descomponse (split) en ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$, polo que este anel adoita considerarse como a suma directa ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$. Con todo, unha variación dos números complexos ${\displaystyle z=x+yj}$ é o que suxire ${\displaystyle j}$ como raíz de ${\displaystyle X^{2}-1=0}$, en comparación con ${\displaystyle i}$ como raíz de ${\displaystyle X^{2}+1=0}$. Este plano de números complexos descompostos normaliza a suma directa ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ proporcionando unha base ${\displaystyle \left\lbrace 1,j\right\rbrace }$ para un 2-espazo onde a identidade da álxebra está a unha unidade de distancia do cero. Con esta base pódese comparar unha hipérbole unitaria coa circunfetencia unitaria do plano complexo ordinario.

Propiedades

Claramente, se ${\displaystyle R}$ é un anel conmutativo, entón tamén o é ${\displaystyle R/I}$; o contrario, porén, en xeral non é certo.

O mapa do cociente natural ${\displaystyle p}$ ten ${\displaystyle I}$ como o seu kernel; xa que o kernel de cada homomorfismo de aneis é un ideal bilateral, podemos afirmar que os ideais bilaterais son precisamente os kernels dos homomorfismos de aneis.

A íntima relación entre os homomorfismos de aneis, kernels e aneis cocientes pódese resumir do seguinte xeito: os homomorfismos de aneis definidos en ${\displaystyle R/I}$ son esencialmente os mesmos que os homomorfismos de aneis definidos en ${\displaystyle R}$ que desaparecen (é dicir, son cero) en ${\displaystyle I}$. Máis precisamente, dado un ideal bilateral ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle R}$ e un homomorfismo de aneis ${\displaystyle f:R\to S}$ cuxo kernel contén ${\displaystyle I}$, existe precisamente un homomorfismo de aneis ${\displaystyle g:R/I\to S}$ con ${\displaystyle gp=f}$ (onde ${\displaystyle p}$ é o mapa do cociente natural). O mapa ${\displaystyle g}$ aquí vén dado pola regra ben definida ${\displaystyle g([a])=f(a)}$ para todos os ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle R}$. De feito, esta propiedade universal pódese usar para definir aneis cocientes e os seus mapas cocientes naturais.

Como consecuencia do anterior, obtense a afirmación fundamental: todo homomorfismo de aneis ${\displaystyle f:R\to S}$ induce un isomorfismo de aneis entre o anel cociente ${\displaystyle R/\ker(f)}$ e a imaxe ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$. (Ver tamén: Teorema fundamental sobre homomorfismos).

Os seguintes feitos resultan útiles en álxebra conmutativa e xeometría alxébrica: para ${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$ conmutativo, ${\displaystyle R/I}$ é un corpo se e só se ${\displaystyle I}$ é un ideal máximal, mentres que ${\displaystyle R/I}$ é un dominio de integridade se e só se ${\displaystyle I}$ é un ideal primo. Unha serie de afirmacións similares relacionan propiedades do ideal ${\displaystyle I}$ ás propiedades do anel cociente ${\displaystyle R/I}$.

O teorema chinés do resto afirma que, se o ideal ${\displaystyle I}$ é a intersección (ou equivalentemente, o produto) dos ideais coprimos por parellas ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$, entón o anel cociente ${\displaystyle R/I}$ é isomorfo ao produto dos aneis cocientes ${\displaystyle R/I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$ .

Para álxebras sobre un anel

Unha álxebra asociativa ${\displaystyle A}$ sobre un anel conmutativo ${\displaystyle R}$ é un anel en si. Se ${\displaystyle I}$ é un ideal en ${\displaystyle A}$ (pechado baixo multiplicación en ${\displaystyle R}$), entón ${\displaystyle A/I}$ herda a estrutura dunha álxebra en ${\displaystyle R}$ sendo a álxebra cociente.