Matriz identidade

En álxebra linear, a matriz identidade de tamaño ${\displaystyle n}$ é a matriz cadrada ${\displaystyle n\times n}$ con todo uns na diagonal principal e ceros no resto de posicións. Ten propiedades únicas, por exemplo, cando a matriz de identidade representa unha transformación xeométrica, o obxecto permanece inalterado pola transformación. Noutros contextos, é análogo a multiplicar polo número 1.

Terminoloxía e notación

A matriz identidade adoita denotarse por ${\displaystyle I_{n}}$, ou simplemente por ${\displaystyle I}$ se o tamaño non é importante ou pode determinarse polo contexto. ^[1]

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$Nalgúns campos, como a teoría de grupos ou a mecánica cuántica, a matriz de identidade denótase ás veces por un número 1 en letra grosa, ${\displaystyle \mathbf {1} }$, ou chámase "id" (abreviatura de identidade). Con menos frecuencia, algúns libros de matemáticas usan ${\displaystyle U}$ ou ${\displaystyle E}$ para representar a matriz de identidade, que significa "matriz unitaria" ^[2] e a palabra alemá Einheitsmatrix respectivamente. ^[3]

Outra nomenclatura pode ser$${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$Ou coa notación do delta de Kronecker : ^[4]$${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

Propiedades

Cando ${\displaystyle A}$ é unha matriz de tamaño ${\displaystyle m\times n}$ , temos que a multiplicación matricial pola matriz identidade sería$${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$En particular, a matriz de identidade serve como a identidade multiplicativa do anel matricial de todas as matrices ${\displaystyle n\times n}$, e como elemento de identidade do grupo lineal xeral ${\displaystyle GL(n)}$, que consta de toda matriz invertible ${\displaystyle n\times n}$ baixo a operación de multiplicación matricial. Neste grupo, dúas matrices cadradas teñen a matriz identidade como produto exactamente cando son inversas entre si.

O determinante da matriz identidade é 1, e a súa traza é ${\displaystyle n}$.

A matriz identidade é a única matriz idempotente con determinante distinto de cero. É dicir, é a única matriz tal que:

1. Cando se multiplica por si mesma, o resultado é ela mesma.
2. Todas as súas filas e columnas son linearmente independentes.

A raíz cadrada principal dunha matriz de identidade é ela mesma, e esta é a súa única raíz cadrada definida positivamente. No entanto, cada matriz de identidade con polo menos dúas filas e columnas ten unha infinidade de raíces cadradas simétricas. ^[5]

O rango dunha matriz de identidade ${\displaystyle I_{n}}$ é igual ao tamaño ${\displaystyle n}$, é dicir:$${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$