Diagrama de Venn

Introdución

Na teoría de conxuntos cos diagramas de Venn é posíbel representar as relacións de intersección, inclusión e disxunción sen mudar a posición relativa dos conxuntos.

Tamén son usados como representación visual das conectivas lóxicas na lóxica matemática.

Intersección

Os elementos do conxunto que pertencen simultaneamente a ambos os conxuntos forman a intersección do conxunto.^[1] No diagrama de Venn será a zona delimitada polo cruzamento das dúas circunferencias.

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 3; 5; 15}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}

Intersección = 1, 3.

Inclusión

Se todos os elementos dun conxunto son parte dos elementos doutro, dise que o primeiro é un subconjunto do segundo ou que está incluído no segundo.^[1]

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 2; 3; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

Disxunción

Cando os conxuntos non teñen elementos comúns, a rexión de superposición fica baleira.

A = {2; 4; 6; 8}
B = {1; 3; 5; 7; 9}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Remove ads

Orixes e historia

Thumb — Vitral do comedor do Caius College (Cambridge) en homenaxe a John Venn e a súa creación

Os diagramas de Venn teñen o nome do seu creador, John Venn, matemático e filósofo británico.^[2] Estudante e máis tarde profesor do Caius College da Universidade de Cambridge, Venn desenvolveu toda a súa produción intelectual nese ámbito.^[3]

Foi o matemático suízo Leonhard Euler quen primeiro introduciu unha notación clara e sinxela similar aos diagramas de Venn.^[4] O seguinte diagrama mostra doutro xeito a relación de inclusión do exemplo dado na introdución.

diagrama de Euler

Os diagramas de Euler distínguense dos de Venn en dous aspectos:

Neles non aparecen as rexións baleiras
O conxunto universal non se representa.

A primeira constancia escrita do uso da expresión «diagrama de Venn» é moi tardía (1918) e atópase no libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.^[5]

Remove ads

Diagramas de Venn de enunciados

Artigo principal: Conectiva lóxica.

Podemos ter dous tipos de diagramas de Venn: os que mostran elementos e os que simplemente mostran enunciados ou conceptos. Estes últimos son máis interesantes porque permiten operar de maneira abstracta e chegar a conclusións máis xerais.^[6]

Os seguintes diagramas do segundo tipo mostran os resultados de catro operacións básicas con conxuntos usando o código do semáforo de dúas cores.^[7]


¬A	A ∧ B	A ∨ B = ¬((¬A) ∧ (¬B))	A – B = A ∧ (¬B)

Que representan as operacións: negación, conxunción, disxunción e diferenza. En verde están o resultado das operacións.

E a continuación unha lista completa para un e dous predicados:

Máis información

...

Nome / Símbolo		Valor de verdade					Venn diagrama
Nome / Símbolo		$P$ =	0		1		Venn diagrama
Verdade/Tautoloxía	⊤		1		1
proposición $P$			0		1
Falso/Contradición	⊥		0		0
Negación	¬		1		0
Conectivos binarios		$Q$ =	0	1	0	1
Conxunción	∧		0	0	0	1
Non conxunción	↑		1	1	1	0
Disxunción	∨		0	1	1	1
Non disxunción	↓		1	0	0	0
Condicional material	→		1	1	0	1
Ou exclusivo	$\not \leftrightarrow$		0	1	1	0
Bicondicional	↔		1	0	0	1
Implicación inversa	←		1	0	1	1
proposición $P$			0	0	1	1
proposición $Q$			0	1	0	1