Distancia euclidiana

En matemáticas, a distancia euclidiana é a distancia entre dous puntos, que se pode probar aplicando repetidamente o teorema de Pitágoras. Aplicando esta fórmula como distancia, o espazo euclidiano convértese nun espazo métrico.

A distancia euclidiana en dúas dimensións.

Definición

Distancia euclidiana entre puntos ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),}$ nun espazo euclidiano n-dimensional, defínese como^[1]:

${\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.}$

Distancia unidimensional

Para puntos unidimensionais, ${\displaystyle P=(p_{x})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{x}),}$ a distancia calcúlase como:

$${\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.}$$

O valor absoluto úsase xa que a distancia normalmente considérase un valor escalar sen signo.

Distancia bidimensional

Para puntos bidimensionais, ${\displaystyle P=(p_{x},p_{y})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{x},q_{y}),}$ a distancia calcúlase como:

$${\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.}$$

Alternativamente, expresando en coordenadas polares, utilizando ${\displaystyle P=(r_{1},\theta _{1})}$ e ${\displaystyle Q=(r_{2},\theta _{2}),}$ a distancia calcúlase como:

$${\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$$

Teña en conta que a distancia euclidiana no plano cartesiano, polo tanto bidimensional, é equivalente á hipotenusa (${\displaystyle c}$) no Teorema de Pitágoras.

Exemplo: dadas as coordenadas p1 (400, 60) e p2 (300, 50), entón a distancia euclidiana entre elas é ${\displaystyle 100,1249}$$${\displaystyle {\sqrt {(400-300)^{2}+(60-50)^{2}}}={\sqrt {10025}}=100,1249.}$$

Distancia tridimensional

Para puntos tridimensionais, ${\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z}),}$ a distancia calcúlase como:

$${\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}$$

Distancia n-dimensional

Para puntos n-dimensionais, ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ e ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),}$ a distancia calcúlase como:

$${\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$