Distribución binomial

A distribución binomial é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de n ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa p de que ocorra un éxito no ensaio.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Binomial

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	${\displaystyle n\geq 0}$ número de ensaios (enteiro) ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ probabilidade de éxito (real)
Soporte	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}\!}$
Función de densidade	${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!}$
Función de distribución	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!}$
Media	${\displaystyle np\!}$
Mediana	Un de ${\displaystyle \{\lfloor np\rfloor ,\lceil np\rceil \}}$[1]
Moda	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}$
Varianza	${\displaystyle np(1-p)\!}$
Asimetría	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!}$
Entropía	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
F. xeradora de momentos	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!}$
Func. caract.	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!}$

Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda p e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade q = 1 - p. Na distribución binomial o experimento repítese n veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para n = 1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.

Para representar que unha variable aleatoria X segue unha distribución binomial de parámetros n e p, escríbese:

${\displaystyle X\sim B(n,p)\,}$

A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística.

Experimento binomial

Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías (“éxito” e “fracaso”) e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como p e q ou p e 1-p).

Desígnase por X a variable que mide o número de éxitos que produciron nos n experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable X segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase B(n,p).

Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son:

• Lánzase un dado dez veces e cóntase o número X de treses obtidos. Entón X ~ B(10, 1/6).
• Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número X de caras obtidas. Entón X ~ B(2, 1/2)

Características analíticas

A súa función de probabilidade é

${\displaystyle f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\,\!}$

onde ${\displaystyle x=\{0,1,2,\dots ,n\},}$

sendo ${\displaystyle {n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!}$ as combinacións de ${\displaystyle n\,\!}$ en ${\displaystyle x\,\!}$ (${\displaystyle n\,\!}$ elementos tomados de ${\displaystyle x\,\!}$ en ${\displaystyle x\,\!}$)

Exemplo

Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X=20):

${\displaystyle P(X=20)={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20}=0.1898}$

Propiedades

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=np\,}$

${\displaystyle \mathbb {V} {\text{ar}}[X]=np(1-p)\,}$

Relación con outras variables aleatorias

Se ${\displaystyle n}$ tende a infinito e ${\displaystyle p}$ é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a ${\displaystyle \lambda \,\!}$, entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro ${\displaystyle \lambda }$.

Cando ${\displaystyle p}$ =0.5 e n é moi grande (habitualmente esíxese que ${\displaystyle n\geq 30}$) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal.

Propiedades reprodutivas

Dadas n variables binomiales independentes de parámetros n_i (i = 1,..., n) e ${\displaystyle p}$, a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros n₁+... + n_n, e ${\displaystyle p}$, é dicir,

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim B(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p)\,}$