Distribución lognormal

En probabilidade e estatística, a distribución log-normal é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se log_a X está distribuída normalmente se e só se log_b X está distribuída normalmente). Se X é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(X) ten unha distribución log-normal.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Log-normal

Función de densidade μ=0
Función de distribución μ=0
Parámetros	${\displaystyle s\geq 0}$ ${\displaystyle -\infty \leq \mu \leq \infty }$
Soporte	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\!}$
Función de densidade	${\displaystyle {\frac {e^{-[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}]^{2}/2]}}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$
Función de distribución	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$
Media	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
Mediana	${\displaystyle e^{\mu }}$
Moda	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$
Varianza	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$
Asimetría	${\displaystyle e^{-\mu -\sigma ^{2}/2}(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$
Curtose	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$
Entropía	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})}$
F. xeradora de momentos	(ver no texto os momentos)
Func. caract.

"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".

Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo dun investimento nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.

A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}$

para ${\displaystyle x>0}$, onde ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \sigma }$ son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

e a varianza é

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$.

Relación coa media e o desvío estándar xeométrico

A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas. Neste caso, a media xeométrica é igual a ${\displaystyle \exp(\mu )}$ e o desvío estándar xeométrico é igual a${\displaystyle \exp(\sigma )}$.

Se unha mostra de datos determinase que provén dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente.

Límite do intervalo de confianza	espazo log	xeométrica
3σ límite inferior	${\displaystyle \mu -3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$
2σ límite inferior	${\displaystyle \mu -2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
1σ límite inferior	${\displaystyle \mu -\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }}$
1σ límite superior	${\displaystyle \mu +\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }}$
2σ límite superior	${\displaystyle \mu +2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
3σ límite superior	${\displaystyle \mu +3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$

Onde a media xeométrica ${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )}$ e o desvío estándar xeométrico ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}$

Momentos

Os primeiros momentos son:

${\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}$

ou de forma xeral:

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

Estimación de parámetros Maximum likelihood

Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros μ e σ da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que

${\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}$

onde por ${\displaystyle f_{L}(\cdot )}$ denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por ${\displaystyle f_{N}(\cdot )}$— a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\mu ,\sigma )&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma )=\\\ &=&\operatorname {const} (\mu ,\sigma )+\ell _{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma ).\end{matrix}}}$

Xa que o primeiro termo é constante respecto a μ e σ, ambas funcións logarítmicas, ${\displaystyle \ell _{L}}$ e ${\displaystyle \ell _{N}}$, obteñen o seu máximo co mesmo μ e σ. Polo tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmprese

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}$

Distribución relacionadas

• ${\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ é unha distribución normal se ${\displaystyle Y=\ln(X)}$ e ${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}$.
• Se ${\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...N}}}$ son variables independentes log-normalmente distribuídas co mesmo parámetro μ e permitindo que varie σ, e ${\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{N}X_{m}}$, entón Y é unha variable distribuída log-normalmente como: ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(\mu ,\sum _{m}\sigma _{m}^{2}\right)}$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Media xeométrica
• Desvío estándar xeométrico
• Función error