Relación transitiva
relación binaria R coa propiedade de que xRy e yRz implica xRz From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
En matemáticas, unha relación binaria R nun conxunto X é transitiva se, para todos os elementos a, b, c en X, sempre que R relaciona a con b e b con c, entón R tamén relaciona a con c.
Toda orde parcial e toda relación de equivalencia son transitivas. Por exemplo, a desigualdade e a igualdade entre os números reais son ambas as dúas transitivas: Se a < b e b < c entón a < c; e se x = y e y = z entón x = z .
Remove ads
Definición
Relacións binarias transitivas | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea sexa transitiva: para todo se e entón |
Unha relación homoxénea R no conxunto X é unha relación transitiva se, [1]
- para todo a, b, c ∈ X, se a R b e b R c, entón a R c.
Ou en termos de lóxica de primeira orde:
- ,
onde a R b é a notación infixa para (a, b) ∈ R.
Remove ads
Exemplos
Como exemplo non matemático, a relación "é ascendente de" é transitiva. Por exemplo, se Paz é ascendente de Belén e Belén é ascendente de Nuno, daquela Paz tamén é ascendente de Nuno.
"É maior que", "é polo menos tan grande como" e "é igual a" son relacións transitivas en varios conxuntos, por exemplo, o conxunto de números reais ou o conxunto de números naturais:
- sempre que x > y e y > z, entón tamén x > z,
- sempre que x ≥ y e y ≥ z, entón tamén x ≥ z,
- sempre que x = y e y = z, entón tamén x = z.
Máis exemplos de relacións transitivas:
- "é un subconxunto de" (inclusión de conxuntos, unha relación entre conxuntos)
- "divide" (divisibilidade, unha relación entre números naturais)
- "implica" (implicación, simbolizada por "⇒", unha relación entre proposicións)
Exemplos de relacións non transitivas:
- "é o sucesor de" (unha relación sobre números naturais)
- "é perpendicular a" (unha relación en liñas en xeometría euclidiana)
A relación baleira en calquera conxunto é transitiva [2] porque non hai elementos tal que e , e polo tanto a condición de transitividade é vacuamente verdadeira. Unha relación R que contén só un par ordenado tamén é transitiva: se o par ordenado é da forma para algúns os únicos elementos deste tipo son , e de feito neste caso , mentres que se o par ordenado non é da forma entón non hai tales elementos e polo tanto é vacuamente transitivo.
Remove ads
Propiedades
Propiedades de pechamento
- A inversa dunha relación transitiva é sempre transitiva. Por exemplo, sabendo que "é un subconxunto de" é transitiva e que "é un superconxunto de" é a súa inversa, pódese concluír que esta última tamén é transitiva.
- A intersección de dúas relacións transitivas é sempre transitiva. [3] Por exemplo, sabendo que "naceu antes" e "ten o mesmo nome que" son transitivas, pódese concluír que "naceu antes e tamén ten o mesmo nome que" tamén é transitiva.
- A unión de dúas relacións transitivas non ten por que ser transitiva. Por exemplo, "naceu antes ou ten o mesmo nome que" non é unha relación transitiva.
- O complemento dunha relación transitiva non ten por que ser transitiva.[4] Por exemplo, mentres "igual a" é transitiva, "non igual a" só é transitiva en conxuntos cun elemento como máximo.
Outras propiedades
Unha relación transitiva é asimétrica se e só se é irreflexiva.[5]
Unha relación transitiva non ten por que ser reflexiva. Cando o é, chámase preorde. Por exemplo, no conxunto X = {1,2,3}:
- R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2) } é reflexiva, pero non transitiva, xa que o par (1,2) está ausente,
- R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) } é reflexiva e transitiva, polo que é unha preorde,
- R = { (1,1), (2,2), (3,3) } é reflexiva e transitiva, tamén é unha preorde.
Tipos de relación que requiren transitividade
- Preorde: unha relación reflexiva e transitiva
- Orde parcial: unha preorde antisimétrica
- Preorde total: unha orde previo conectado (anteriormente chamado total).
- Relación de equivalencia: unha preorde simétrica
- Orde débil estrita: unha orde parcial estrita na que a incomparabilidade é unha relación de equivalencia
- Orde total: relación conexa (total), antisimétrica e transitiva
Contando as relacións transitivas
Non se coñece ningunha fórmula xeral que conte o número de relacións transitivas nun conxunto finito (secuencia A006905 na OEIS). No entanto, existe unha fórmula para atopar o número de relacións que son simultaneamente reflexivas, simétricas e transitivas, é dicir, relacións de equivalencia (secuencia A000110 na OEIS) , as simétricas e transitivas, as simétricas, transitivas., e antisimétricas, e as que son totais, transitivas e antisimétricas. Pfeiffer fixo algúns progresos nesta dirección, expresando relacións con combinacións destas propiedades en termos entre si, mais aínda é difícil calcular calquera en si mesma. Véxase tamén Brinkmann e McKay (2005).
Remove ads
Propiedades relacionadas
Unha relación R chámase intransitiva se non é transitiva, é dicir, se xRy e yRz, pero non xRz, para algúns x, y, z. Pola contra, unha relación R chámase antitransitiva se xRy e yRz sempre implican que non se cumpre xRz. Por exemplo, a relación definida por xRy se xy é un número par é intransitiva,[6] mais non antitransitiva.[7] A relación definida por xRy se x é par e y é impar é transitiva e antitransitiva.[8] A relación definida por xRy se x é o número sucesor de y é tanto intransitiva [9] como antitransitiva.[10]
Remove ads
Notas
Véxase tamén
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads