Factorial descendente e ascendente

En matemáticas, o factorial descendente, ^[1] defínese como o polinomio,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}}$

O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer ^[1]) defínese como

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$

En ambos os casos o valor é 1 cando n = 0. Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.^[2]

O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación (x)_n, onde n é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente (x)_n con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}.}$ ^[3]

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo (x)_n úsase para representar o factorial descendente e o símbolo x⁽ⁿ⁾ para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, ^[4] aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ e ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ son cada vez máis populares. ^[5] Son moi usados na función hiperxeométrica.

Exemplos e interpretación combinatoria

Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$

Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$

Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo.

Propiedades

Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}}$

Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$

Os factoriais descendentes e ascendentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$

O factorial descendente pódese estender a valores reais de x usando a función gamma sempre que x e x + n sexan números reais que non son enteiros negativos:

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$

e tamén pode o factorial ascendente:

${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$

O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para |z| < 1 pola serie de potencias

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$sempre que c ≠ 0, −1, −2, ... . Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación (a)_n para factoriais ascendentes.

Notacións alternativas

Unha notación alternativa para o factorial ascendente

${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factores}}}\quad {\text{para enteiros }}m\geq 0}$e para o factorial descendente

${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factores}}}\quad {\text{para enteiros }}m\geq 0}$