Serie de potencias

En matemáticas, unha serie de potencias (nunha variábel) é unha serie infinita da forma $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots }$$onde ${\displaystyle a_{n}}$ representa o coeficiente do n-ésimo termo e c é unha constante chamada centro da serie. As series de potencias son útiles na análise matemática, onde xorden como series de Taylor de funcións infinitamente diferenciábeis. De feito, o teorema de Borel implica que toda serie de potencias é a serie de Taylor dalgunha función suave.

En moitas situacións, o centro c é igual a cero, por exemplo para a serie de Maclaurin. Nestes casos, a serie de potencias toma a forma máis sinxela $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .}$$

Exemplos

Serie xeométrica, función exponencial e seno

A fórmula da serie xeométrica $${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$$que é válida para ${\textstyle |x|<1}$, é un dos exemplos máis importantes dunha serie de potencias, así como a fórmula da función exponencial $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$$ e a fórmula do seno $${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$ válida para todos os x reais. Estas series de potencias son exemplos das series de Taylor (ou, máis concretamente, das series de Maclaurin).

Raio de converxencia

Unha serie de potencias ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ é converxente para algúns valores da variábel x, que sempre incluirá x = c xa que ${\displaystyle (x-c)^{0}=1}$ e a suma da serie é logo ${\displaystyle a_{0}}$ para x = c. A serie pode diverxer para outros valores de x, posibelmente todos. Se c non é o único punto de converxencia, sempre hai un número r con 0 < r ≤ ∞ tal que a serie converxe sempre que |x – c| < r e diverxe sempre que |x – c| > r. O número r chámase raio de converxencia da serie de potencias; en xeral dáse como $${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$$ ou, equivalentemente, $${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}$$Este é o teorema de Cauchy-Hadamard; ver límite superior e límite inferior para unha explicación da notación. A relación $${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$$ tamén se cumpre, se existe este límite.

O conxunto dos números complexos tal que |x – c| < r chámase disco de converxencia da serie. A serie converxe absolutamente dentro do seu disco de converxencia e converxe uniformemente en cada subconxunto compacto do disco de converxencia.

Para |x – c| = r, non hai unha afirmación xeral sobre a converxencia da serie. Porén, o teorema de Abel afirma que se a serie é converxente para algún valor z tal que |z – c| = r, entón a suma da serie para x = z é o límite da suma da serie para x = c + t (z – c) onde t é unha variábel real menor que 1 que tende a 1.

Funcións analíticas

Unha función f definida nalgún subconxunto aberto U de R ou C chámase analítica se está dada localmente por unha serie de potencias converxentes. Isto significa que todo a ∈ U ten unha veciñanza aberta V ⊆ U, tal que existe unha serie de potencias con centro a que converxe a f (x) para todo x ∈ V.

Toda serie de potencias cun raio de converxencia positivo é analítica no interior da súa rexión de converxencia. Todas as funcións holomorfas son analíticas complexas. As sumas e produtos das funcións analíticas son analíticas, así como os cocientes sempre que o denominador sexa distinto de cero.

Se unha función é analítica, entón é infinitamente diferenciábel, mais no caso real a inversa non é xeralmente verdadeira. Para unha función analítica, os coeficientes a_n pódense calcular como $${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$$

onde ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ denota a derivada n-ésima de f en c, e ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$. Isto significa que toda función analítica está representada localmente pola súa serie de Taylor.

Serie formal de potencias

Na álxebra abstracta, inténtase captar a esencia das series de potencias sen restrinxirse aos corpos dos números reais e complexos, e sen necesidade de falar de converxencia. Isto leva ao concepto de serie formal de potencias, un concepto de gran utilidade na combinatoria alxébrica.