Fracción irredutible

Unha fracción irredutible é unha fracción en que tanto o numerador como o denominador son números enteiros que non teñen divisores comúns fóra do 1 (e do -1 se se consideran os números negativos).^[1] Noutras palabras, unha fracción ^a⁄_b é irredutible se e só se a e b son coprimos, é dicir, se a e b teñen como máximo común divisor o 1. En matemáticas avanzadas, fracción irredutible pode referirse a fracción alxébricas en que o numerador e o denominador son polinomios coprimos^[2] Todos os números racionais positivos poden representarse mediante unha fracción irredutible de xeito único.^[3]

En ocasións pode ser útil unha fracción equivalente: se a, b son enteiros, entón a fracción ^a⁄_b é irredutible se e só se non hai outra fracción ^c⁄_d equivalente tal que |c| < |a| ou |d| < |b|, onde |a| significa o valor absoluto de a.^[4] (Dúas fraccións ^a⁄_b e ^c⁄_d son equivalente se e só se ad = bc.)

Por exemplo, ¹⁄₄, ⁵⁄₆, e ⁻¹⁰¹⁄₁₀₀ son fraccións irredutibles. Por outra banda, ²⁄₄ non é irredutible xa que é equivalente a ¹⁄₂, e o numerador de ¹⁄₂ é menor que o numerador de ²⁄₄.

Unha fracción pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador entre un factor común. Pode ser obtida a fracción irredutible se se dividen ambos os termos entre o máximo común divisor.^[5] Para achar o máximo común divisor, pódense usar o algoritmo de Euclides ou a factorización en primos, mais o primeiro algoritmo adoita ser preferible ao non precisar factorizar números grandes para calculalo.^[6]

Exemplos

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}\,.}$

No primeiro paso dividíronse ambos os números entre 10, factor común de 120 e 90. No segundo paso, dividíronse entre 3. A solución final, ⁴/₃, é unha fracción irredutible porque o único factor común de 4 e 3 é 1.

A fracción orixinal pode simplificarse nun só paso empregando o máximo común divisor de 90 e 120, que é 30 (i.e., mcd(90,120)=30):

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}\,.}$

Unicidade

Todo número racional ten unha representación única como fracción irredutible con denominador positivo^[3] (non obstante, ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {-2}{-3}}}$ aínda que ambas son irredutibles). A unicidade é consecuencia do descomposición única en factores primos dos enteiros, xa que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}}$ implica que ad = bc e polo tanto ambos membros da igualdade deben compartir a mesma factorización, e entón ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ non comparten factores primos, e o conxunto de factores primos de ${\displaystyle a}$ (coa súa multiplicidade) é un subconxunto dos de ${\displaystyle c}$ e viceversa, así que ${\displaystyle a=c}$ e ${\displaystyle b=d}$.

Aplicacións

O feito de que calquera número racional ten unha representación única como fracción irredutible emprégase en varias probas da irracionalidade da raíz de 2 e doutros números irracionais. Por exemplo, unha proba indica que se a raíz cadrada de 2 puidese representarse como razón de enteiros, entón tería en particular unha representación simplificada ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ onde a e b son os menores posibles; pero xa que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ é igual á raíz cadrada de 2, entón ${\displaystyle {\tfrac {2b-a}{a-b}}}$. Dado que a primeira é a fracción irredutible, existe unha contradición, que procede da inexistencia de razón de dous enteiros.

Xeneralización

A noción de fracción irredutible xeneralízase no corpo de fraccións de calquera dominio de factorización única: calquera elemento deste corpo pode ser descrito como unha fracción na que o denominador e numerador son coprimos, dividíndose ambos polo seu máximo común divisor.^[7]

A fracción irredutible dun elemento dado é única agás a multiplicación do denominador e numerador polo mesmo elemento invertible. No caso dos números racionais, isto significa que calquera número ten dúas fraccións irredutíbeis, relacionadas por un cambio de signo do numerador e do denominador. Para evitar a ambigüidade, esta pódese eliminar fixando o denominador como positivo. No caso das funcións racionais, a ambigüidade elúdese se o denominador é sempre un polinomio mónico, é dicir, que o coeficiente do termo de maior grao é 1.^[8]