Función de Euler

En matemáticas, a función de Euler vén dada por

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.}$

Gráfica de cores do dominio de ϕ no plano complexo

Non confundir con Función totiente de Euler.

O nome fai referencia a Leonhard Euler, é un exemplo modelo dunha q-serie e proporciona o exemplo prototípico dunha relación entre a combinatoria e a análise complexa.

Propiedades

O coeficiente ${\displaystyle p(k)}$ na expansión en serie de potencias formal para ${\displaystyle 1/\phi (q)}$ dá o número de particións de k. É dicir,

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

onde ${\displaystyle p}$ é a función de partición .

A identidade de Euler, tamén coñecida como teorema dos números pentagonais, é

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

onde ${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$ é un número pentagonal.

A función de Euler está relacionada coa función eta de Dedekind como

${\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).}$

A función de Euler pódese expresar como un q-símbolo de Pochhammer:

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

O logaritmo da función de Euler é a suma dos logaritmos da expresión do produto, e teñen cadansúa expansión arredor de q = 0, producindo

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

que é unha serie de Lambert con coeficientes -1/n. Polo tanto, o logaritmo da función de Euler pódese expresar como

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

onde ${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$ -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )

Pola mor da identidade ${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}}$, onde ${\displaystyle \sigma (n)}$ é a función de suma de divisores, esta tamén se pode escribir como

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}$ .

Valores especiais

As seguintes identidades veñen dos Cadernos de Ramanujan:^[1]

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

Usando o teorema dos números pentagonais, trocando suma por integral, e despois invocando métodos analíticos de complexos, derívase

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$