Función indicadora

En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se A é un subconxunto dalgún conxunto X, entón ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ se ${\displaystyle x\in A,}$ e ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$ se ${\displaystyle x\notin A}$. A notación ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ é común para a función indicadora. Outras notacións comúns son ${\displaystyle I_{A},}$ e ${\displaystyle \chi _{A}.}$

Un gráfico tridimensional dunha función indicadora, mostrado sobre un dominio cadrado bidimensional (conxunto X): a parte "erguida" mostra os puntos bidimensionais que son membros do subconxunto "indicado" (A).

A función indicadora de A tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a A; é dicir,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$$

Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

Definición

A función indicadora dun subconxunto A dun conxunto X é unha función

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$

definida como

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}$$

O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, ${\displaystyle [x\in A]}$ en lugar de ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x).}$

A función ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ ás veces denótase I_A, χ_A, K_A. ^[a][b]

Propiedades básicas

A función indicador dun subconxunto A dalgún conxunto X asigna elementos de X no rango ${\displaystyle \{0,1\}}$.

Este mapa é sobrexectivo só cando A é un subconxunto propio non baleiro de X. Se ${\displaystyle A\equiv X,}$ entón ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$ Por un argumento semellante, se ${\displaystyle A\equiv \emptyset }$ entón ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ son dous subconxuntos de ${\displaystyle X,}$ daquela$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

e a función indicadora do complemento de ${\displaystyle A}$ é dicir ${\displaystyle A^{C}}$ é: $${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

De xeito máis xeral, supoña que ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$ son unha colección de subconxuntos de X. Para calquera ${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$$

é claramente un produto de 0s e 1s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses ${\displaystyle x\in X}$ que non pertencen a ningún dos conxuntos ${\displaystyle A_{k}}$ e é 0 en caso contrario. É dicir

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

Expandendo o produto no lado esquerdo,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

onde ${\displaystyle |F|}$ é a cardinalidade de F. Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.

A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se X é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade ${\displaystyle \operatorname {P} }$ e A é un conxunto medible, entón ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de A:

$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).}$$

Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.