Complementario (conxuntos)

Modelo:Testcases other

Se A é a área coloreada en vermello nesta imaxe…

… daquela o complementario de A é todo o resto.

Na teoría de conxuntos, o complementario ou complemento dun conxunto A, denotado usualamente por ${\displaystyle A^{\complement }}$ (ou A′),^[1] é o conxunto de elementos que non están en A.^[2]

Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado U, o complemento absoluto de A é o conxunto de elementos en U que non están en A.

O complemento relativo de A en relación a un conxunto B, tamén denominado diferenza de conxuntos de B e A, escrito ${\displaystyle B\setminus A,}$ é o conxunto de elementos en B que non están en A.

O complemento absoluto do disco branco é a zona vermella

Complemento absoluto

Se A é un conxunto, entón o complemento absoluto de A (ou simplemente o complemento de A) é o conxunto de elementos que non están en A (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): ^[3]$${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$Adoita denotarse por ${\displaystyle A^{\complement }}$. Outras notacións son ${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ^[2] ${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$ ^[4]

Exemplos

• Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se A é o conxunto de números impares, entón o complemento de A é o conxunto de números pares. Se B é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de B é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
• Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto A é o pau dos ouros, entón o complemento de A é a unión dos paus de espadas, bastos e copas.
• Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.

Propiedades

Sexan A e B dous conxuntos nun universo U. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

Leis de De Morgan: ^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Leis do complementario: ^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{Se }}A\subseteq B{\text{, entón }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.}$

  (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).

Lei da involución ou do dobre complemento:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Relacións entre complementos relativos e absolutos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).}$

Relación coa diferenza:

• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se A é un subconxunto propio non baleiro de U, entón {A, A^∁} é unha partición de U.

Complemento relativo

O complemento relativo de A en B: ${\displaystyle B\cap A^{\complement }=B\setminus A}$

Definición

Se A e B son conxuntos, entón o complemento relativo de A en B (expresado ${\displaystyle B\setminus A}$ ), ^[5] tamén denominado diferenza de conxuntos de B e A (por iso ás veces tamén se expresa como ${\displaystyle B-A,}$), ^[6] é o conxunto de elementos que están en B pero non están en A.

Formalmente:$${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

Exemplos

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Se ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o conxunto dos números reais e ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é o conxunto de números racionais, entón ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ é o conxunto de números irracionais.

Propiedades

Sexan A, B e C tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  co caso especial importante ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$ demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Se ${\displaystyle A\subset B}$, entón ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$ .
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$ é equivalente a ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$ .

Relación complementaria

Unha relación binaria ${\displaystyle R}$ defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos ${\displaystyle X\times Y.}$ A relación complementaria ${\displaystyle {\bar {R}}}$ é o complemento do conxunto de ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle X\times Y.}$ O complemento de relación ${\displaystyle R}$ pódese escribir$${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$Xunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.