Función parcial

En matemáticas, unha función parcial f dun conxunto X a un conxunto Y é unha función dun subconxunto S de X a Y. O subconxunto S, é dicir, o dominio de ${\displaystyle f}$ visto como función, chámase dominio de definición ou dominio natural de ${\displaystyle f}$. Se S é igual X, é dicir, se ${\displaystyle f}$ se define en todos os elementos de X, entón dise que ${\displaystyle f}$ é unha función total.

Noutras palabras, ${\displaystyle f}$ é unha relación tal que a restrición de ${\displaystyle f}$ ao seu domínio é unha función.

A miúdo úsase unha función parcial cando non se coñece o seu dominio exacto de definición ou é difícil de especificar. Non obstante, mesmo cando se coñece o dominio exacto da definición, as funcións parciais adoitan usarse por sinxeleza ou brevidade. Este é o caso do cálculo, onde, por exemplo, o cociente de dúas funcións é unha función parcial cuxo dominio de definición non pode conter os ceros do denominador; neste contexto, unha función parcial é xeralmente chamada simplemente función .

Cando se usa a notación de frecha para funcións, unha función parcial ${\displaystyle f}$ dende ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ ás veces escríbese como ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$${\displaystyle f:X\nrightarrow Y}$.

En concreto, para unha función parcial ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$ e calquera ${\displaystyle x\in X,}$ temos:

• ${\displaystyle f(x)=y\in Y}$ (é un único elemento en Y ), ou
• ${\displaystyle f(x)}$ está indefinido.

Por exemplo, se ${\displaystyle f}$ é a función raíz cadrada restrinxida aos números enteiros

${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,}$ definido por:

${\displaystyle f(n)=m}$ se, e só se, ${\displaystyle m^{2}=n,}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,}$

logo ${\displaystyle f(n)}$ só se define se ${\displaystyle n}$ é un cadrado perfecto (é dicir, ${\displaystyle 0,1,4,9,16,\ldots }$ ). Entón ${\displaystyle f(25)=5}$ mais ${\displaystyle f(26)}$ está indefinido.

Conceptos básicos

Moitas propiedades das funcións pódense ampliar nun sentido apropiado para as funcións parciais. Dise que unha función parcial é inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva cando a función dada pola restrición da función parcial ao seu dominio de definición é inxectiva, sobrexectiva e bixectiva, respectivamente.

Como unha función é trivialmente sobrexectiva cando está restrinxida á súa imaxe, o termo bixección parcial denota unha función parcial que é inxectiva.^[1]

Discusión e exemplos

Logaritmo natural

Considere a función do logaritmo natural que mapea os números reais en si mesmos. O logaritmo dun real non positivo non é un número real, polo que a función do logaritmo natural non asocia ningún número real do codominio con ningún número real non positivo do dominio. Polo tanto, a función de logaritmo natural non é unha función cando se ve como unha función dos reais en si mesmos, senón que é unha función parcial. Se o dominio está restrinxido para incluír só os reais positivos (é dicir, se a función do logaritmo natural é vista como unha función dos reais positivos aos reais), entón o logaritmo natural é unha función.

Na teoría de categorías

Na teoría de categorías, ao considerar a operación de composición de morfismos en categorías concretas, a operación de composición ${\displaystyle \circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)}$ é unha función total se e só se ${\displaystyle \operatorname {ob} (C)}$ ten un elemento. A razón disto é que dous morfismos ${\displaystyle f:X\to Y}$ e ${\displaystyle g:U\to V}$ só poden ser compostos como ${\displaystyle g\circ f}$ se ${\displaystyle Y=U,}$ é dicir, o codominio de ${\displaystyle f}$ debe ser igual ao dominio de ${\displaystyle g.}$

A categoría de conxuntos e funcións parciais é equivalente pero non isomorfa coa categoría de conxuntos apuntados e mapas de conservación de puntos.^[2] Un libro de texto sinala que "Esta realización formal de conxuntos e mapas parciais engadindo elementos "impropios" e "infinitos" reinventouse moitas veces, en particular, na topoloxía (compactación dun punto).

Na álxebra abstracta

A álxebra parcial xeneraliza a noción de álxebra universal ás operacións parciais. Un exemplo sería un corpo, no que a inversión multiplicativa é a única operación parcial adecuada (porque a división por cero non está definida).^[3]

Cartas e atlas para variedades e fibrados

As cartas dos atlas que especifican a estrutura das variedades e dos fibrados son funcións parciais. No caso das variedades, o dominio é o conxunto de puntos da variedade. No caso dos fibrados, o dominio é o espazo do fibrado. Nestas aplicacións, a construción máis importante é o mapa de transición, que é a composición dunha carta coa inversa doutra. A clasificación inicial de variedades e fibrados exprésase en gran medida en termos de restricións nestes mapas de transición.

O motivo do uso de funcións parciais en lugar de funcións é permitir que se representen topoloxías globais xerais unindo parches locais para describir a estrutura global. Os "parches" son os dominios onde se definen as cartas.