Función signo

En matemáticas, a función signo é unha función que devolve o signo dun número real. En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$. ^[1]

Función signo
Instancia de artigo de Wikipedia que reúne múltiples temas
Subclase de función función unaria función impar función idempotente
Tema principal función dun número real signo dun número complexo
Identificadores
OpenAlex	C4250
[ Wikidata ] [ C:Commons ]

Función signo ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

Definición

A función signo dun número real ${\displaystyle x}$ é unha función por intervalos que se define como segue: ^[2]$${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

Os números con función signo 1 son números positivos.

Os números con función signo -1 son números negativos.

Propiedades

A función signo é descontinua en x = 0.

Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo ${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x.}$

Daquela, cando ${\displaystyle x}$ non é igual a 0 temos ${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}}$.

Tamén temos:${\displaystyle \operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}}$.

A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero.${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ para }}x\neq 0.}$

A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en x = 0.

Outra identidade, usando a función de Heaviside sería ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1}$.

Signo complexo

A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:$${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$para calquera número complexo ${\displaystyle z}$ agás ${\displaystyle z=0}$. O signo dun número complexo dado ${\displaystyle z}$ é o punto da circunferencia unitaria do plano complexo que está máis próximo a ${\displaystyle z}$. Entón, para ${\displaystyle z\neq 0}$,${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z},}$ onde ${\displaystyle \arg }$ é o argumento do número complexo.

Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para ${\displaystyle z=0,\operatorname {sgn}(0+0i)=0}$.

Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é ${\displaystyle {\text{csgn}}}$, ^[3] que se define en función do signo das partes real ${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ e imaxinaria ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$: $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$Logo temos (para ${\displaystyle z\neq 0}$ ):$${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$