Invariante

En matemáticas, a palabra invariante ten diferentes significados segundo o contexto. Por exemplo, o único número igual ao seu triplo é cero, o único elemento invariante dunha función que triplica calquera número, real ou enteiro. As nocións de invarianza interveñen tanto en xeometría e topoloxía como en análise e álxebra.

Invariante dunha transformación

Un cadrado é globalmente invariante baixo unha rotación dun cuarto de volta dende o centro do cadrado;
este centro é un punto invariante por rotación.

Se g: E → E é unha aplicación, unha invariante de g é un punto fixo, é dicir un elemento x de E que é a súa propia imaxe por g:

${\displaystyle g(x)=x.}$

Para tal aplicación g, dise que un subconxunto P de E é:

• invariante punto a punto se todos os seus elementos son puntos fixos;
• globalmente invariante baixo g, ou estábel baixo g, se ${\displaystyle g(P)\subset P}$, é dicir: ${\displaystyle \forall x\in P:g(x)\in P}$ (esta propiedade é menos forte que a anterior).

Estas nocións adoitan intervir en sistemas dinámicos, para transformacións xeométricas e para accións de grupo. De feito, as invariantes dunha aplicación poden proporcionar información sobre ela.

• Na xeometría euclidiana, o único punto invariante dunha semellanza directa (que non é unha translación) do plano euclidiano será o seu centro.
• Na redución do endomorfismo, dise que un subespazo vectorial F de E é invariante baixo unha aplicación linear g cando é globalmente invariante baixo g.
• Para unha acción (pola esquerda) dun grupo G nun conxunto X, dise que un punto x é invariante cando para calquera elemento g de G temos: g.x = x.

Propiedade invariante

Dise que unha propiedade é invariante cando un proceso non a modifica. Unha propiedade refírese a un determinado obxecto ou conxunto de obxectos. Pódense realizar diferentes construcións para construír obxectos de natureza semellante: parte, complemento, suma, produtos, cociente, pegado, extensión...

A invarianza dunha propiedade caracteriza a súa estabilidade baixo estas construcións.

No sentido de teoría de categorías

Para unha determinada categoría, unha invariante é unha cantidade ou obxecto asociado a cada obxecto da categoría, e que depende só da clase de isomorfismo do obxecto, posíbelmente ata isomorfismo.

A linguaxe das invariantes é particularmente adecuada para a topoloxía alxébrica.

En teoría de grafos

Dise que un número asociado a un grafo é unha invariante de grafo, se non é modificado por un isomorfismo de grafo. Por exemplo, o número cromático é unha invariante de grafo.

Xeneralización

Na resolución de problemas, o principio de invariante pódese xeneralizar ao de variante. Saber como varía unha determinada cantidade pode axudar a progresar nunha demostración.

Un caso especial dunha variante é a monovariante, que varía monotonamente en cada paso. Esta nova restrición pode, por exemplo, mostrar que un algoritmo sempre termina.

As invariantes son casos especiais de variantes e monovariantes.

Véxase tamén

Outros artigos

• Xeometría.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Invariant". MathWorld.
• Invariant (Encyclopedia of math)]