Subespazo vectorial

En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un subespazo linear ou subespazo vectorial ^[1] é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente subespazo cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos.

Definición

Se V é un espazo vectorial sobre un corpo K, un subconxunto W de V é un subespazo vectorial de V se é un espazo vectorial sobre K coas operacións de V.

De forma equivalente, un subespazo vectorial de V é un subconxunto W non baleiro tal que, sempre que w₁, w₂ son elementos de W e α, β son elementos de K, temos que αw₁ + βw₂ está en W. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan subespazos triviais do espazo vectorial.^[7]

Exemplos

Exemplo I

No espazo vectorial V = R³ (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo R de números reais), tomamos W como o conxunto de todos os vectores de V cuxa última compoñente é 0. Entón W é un subespazo de V.

Proba:

1. Dados u e v en W, entón poden expresarse como u = (u₁, u₂, 0) e v = (v₁, v₂, 0). Así temos u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0+0) = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0). Por tanto, u + v tamén é un elemento de W.
2. Dado u en W e un escalar ${\displaystyle \lambda }$ en R, se u = (u₁, u₂, 0) temos ${\displaystyle \lambda {\textbf {u}}=(\lambda u_{1},\lambda u_{2},\lambda 0)=(\lambda u_{1},\lambda u_{2},0).}$ Por tanto, ${\displaystyle \lambda }$u tamén é un elemento de W.

Exemplo II

Sexa de novo o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o plano cartesiano R². Considere W como o conxunto de puntos (x, y) de R ² tal que x = y. Entón W é un subespazo de R².

Exemplo III

De novo tome o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o conxunto R^R de todas as funcións de R en R. Sexa C(R) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(R) é un subespazo de R^R.

Proba:

1. Sabemos polo cálculo que 0 ∈ C(R) ⊂ R^R.
2. Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua.
3. De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.

Exemplo IV

Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes,mais agora considere o conxunto Diff(R) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial.

Propiedades dos subespazos

Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar.^[8]

Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro W é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de W tamén pertence a W.

Nun espazo vectorial topolóxico X, un subespazo W non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado. ^[9]

Tipos frecuentes de subespazos

Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o espazo nulo ou kernel, e tamén os espazos de columnas e os espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz).

Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.

Independencia, base e dimensión

Os vectores u e v son unha base deste subespazo bidimensional de R³.

En xeral, un subespazo de Kⁿ determinado por k parámetros (ou estendido por k vectores) ten dimensión k. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de K³ estendido polos tres vectores (1,0,0), (0,0,1), e (2,0,3) é só o plano xz, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de t₁, t₂, t₃.

En xeral, os vectores v₁, ... , v_k chámanse linearmente independentes se

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

para (t₁ ,t₂ ,...,t _k )≠ (u₁,u ₂ ,...,u_k ).

Isto pódese expresar tamén como: os vectores v₁, ..., v_k son linearmente independentes se

t₁v₁ + ··· + t_kv_k ≠ 0 para (t₁, t₂, ..., t_k) ≠ (0, 0, ..., 0).

Se v₁, ..., v_k v₁, ..., v_k son linearmente independentes, entón as coordenadas t₁, ..., t_k para un vector xerado están determinadas de forma única.

Unha base para un subespazo S é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é S. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo.

Exemplo

Sexa S o subespazo de R⁴ definido polas ecuacións

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{e}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para S. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

O subespazo S é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en R⁴ que pasa polos puntos (0,0,0,0), (2,1,0,0), e (0,0,5,1).

Operacións e relacións con subespazos

Intersección

En R³, a intersección de dous subespazos bidimensionais distintos é unidimensional

Dados os subespazos U e W dun espazo vectorial V, entón a súa intersección U ∩ W := { v ∈ V : v é un elemento tanto de U como W } tamén é un subespazo de V.^[10]

Suma

Se U e W son subespazos, a súa suma é o subespazo ^[11] $${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación: ^[12] $${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

Un conxunto de subespazos é independente cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial.

A suma directa é a suma de subespazos independentes, escritos como ${\displaystyle U\oplus W}$. Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma. ^{[13] [14] [15] [16]}