Máximo común divisor polinómico

En álxebra, o máximo común divisor (frecuentemente abreviado como MCD) de dous polinomios é un polinomio, do máis alto grao posíbel, que é un factor de ambos os dous polinomios orixinais. Este concepto é análogo ao máximo común divisor de dous enteiros.

No caso importante de polinomios dunha variable sobre un corpo o MCD pode ser calculado, como para o MCD enteiro, polo algoritmo de Euclides o que utiliza a división polinómica. O MCD polinómico está definido agás a multiplicación por unha constante invertible.

A semellanza entre o máximo común divisor de enteiros e o máximo común divisor de polinomios permite estender aos polinomios univariantes todas as propiedades que se poden deducir do algoritmo de Euclides e da división euclidiana. Ademais, o MCD de polinomios posúe propiedades específicas que o converten nunha noción fundamental en diversas áreas da álxebra. Normalmente, as raíces do MCD de dous polinomios coinciden coas raíces comúns de ambos, o que permite obter información sobre as raíces sen necesidade de calculalas explicitamente. Por exemplo, as raíces múltiples dun polinomio son as raíces do MCD entre o polinomio e a súa derivada, e cálculos adicionais de MCD permiten obter a súa factorización libre de cadrados, que produce polinomios cuxas raíces son as raíces dunha determinada multiplicidade do polinomio orixinal.

O máximo común divisor pode definirse e existe, en xeral, para polinomios multivariantes sobre un corpo, sobre o anel dos enteiros, e tamén sobre un dominio de factorización única. Existen algoritmos para o seu cálculo sempre que se dispoña dun algoritmo de MCD no anel dos coeficientes. Estes algoritmos proceden por recorrencia sobre o número de variables, reducindo o problema a unha variante do algoritmo de Euclides.

Son unha ferramenta fundamental na álxebra computacional, pois os sistemas de álxebra computacional utilízanos sistematicamente para simplificar fraccións. Por outra banda, gran parte da teoría moderna do MCD de polinomios desenvolveuse precisamente para responder ás necesidades de eficiencia destes sistemas.