Multiplicidade (matemáticas)

En matemáticas, a multiplicidade dun membro dun multiconxunto é o número de veces que aparece no multiconxunto. Por exemplo, o número de veces que un polinomio dado ten unha raíz nun punto dado é a multiplicidade desa raíz.

A noción de multiplicidade é importante para poder contar correctamente sen especificar excepcións (por exemplo, raíces duplas contadas dúas veces). Daí a expresión, "contado con multiplicidade".

Multiplicidade dun factor primo

Na factorización prima, a multiplicidade dun factor primo é a súa valoracíon ${\displaystyle p}$-ádica. Por exemplo, a factorización prima do número enteiro 60 é

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

a multiplicidade do factor primo 2 é 2, mentres que a multiplicidade de cada un dos factores primos 3 e 5 é 1. Así, 60 ten catro factores primos se permitimos multiplicidades, pero só tres factores primos distintos.

Multiplicidade dunha raíz dun polinomio

Sexa ${\displaystyle F}$ ser un corpo e ${\displaystyle p(x)}$ un polinomio nunha variábel con coeficientes en ${\displaystyle F}$. Un elemento ${\displaystyle a\in F}$ é unha raíz de multiplicidade ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle p(x)}$ se hai un polinomio ${\displaystyle s(x)}$ tal que ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ e ${\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}s(x)}$. Se ${\displaystyle k=1}$, entón a chámase raíz simple. Se ${\displaystyle k\geq 2}$, entón ${\displaystyle a}$ chámase raíz múltiple .

Por exemplo, o polinomio ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ ten 1 e −4 como raíces, e pódese escribir como ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$. Isto significa que 1 é unha raíz da multiplicidade 2, e −4 é unha raíz simple (de multiplicidade 1). A multiplicidade dunha raíz é o número de ocorrencias desta raíz na factorización completa do polinomio, mediante o teorema fundamental da álxebra.

O discriminante dun polinomio é cero se e só se o polinomio ten unha raíz múltiple.

Multiplicidade dunha solución dun sistema de ecuacións non linear

Para unha ecuación ${\displaystyle f(x)=0}$ cunha única solución variábel ${\displaystyle x_{*}}$, a multiplicidade é ${\displaystyle k}$ se

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$ e ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

Noutras palabras, o funcional diferencial ${\displaystyle \partial _{j}}$, definido como a derivada ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ dunha función en ${\displaystyle x_{*}}$, desaparece en ${\displaystyle f}$ para ${\displaystyle j}$ ata ${\displaystyle k-1}$. Eses funcionais diferenciais ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ abranguen un espazo vectorial, chamado espazo dual de Macaulay en ${\displaystyle x_{*}}$,^[1] e a súa dimensión é a multiplicidade de ${\displaystyle x_{*}}$ como un cero de ${\displaystyle f}$.

Sexa ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ un sistema de ${\displaystyle m}$ ecuacións de ${\displaystyle n}$ variábeis con solución ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ onde ${\displaystyle \mathbf {f} }$ é un mapeo de ${\displaystyle R^{n}}$ a ${\displaystyle R^{m}}$ ou dende ${\displaystyle C^{n}}$ a ${\displaystyle C^{m}}$. Tamén hai un espazo dual de Macaulay de funcionais diferenciais en ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ no que cada funcional desaparece en ${\displaystyle \mathbf {f} }$. A dimensión deste espazo dual de Macaulay é a multiplicidade da solución ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ á ecuación ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$. O espazo dual de Macaulay forma a estrutura de multiplicidade do sistema na solución.^[2]

Por exemplo, a solución ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ do sistema de ecuacións en forma de ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ con

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

é de multiplicidade 3 porque o espazo dual de Macaulay

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

é de dimensión 3, onde ${\displaystyle \partial _{ij}}$ denota o funcional diferencial ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$ aplicado nunha función no punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$.

Multiplicidade de intersección

En xeometría alxébrica, a intersección de dúas subvariedades dunha variedade alxébrica é unha unión finita de variedades irredutíbeis. A cada compoñente de tal intersección está unida unha multiplicidade de intersección. Esta noción é local no sentido de que se pode definir observando o que ocorre nunha veciñanza de calquera punto xenérico deste compoñente. Dedúcese que sen perda de xeneralidade, podemos considerar, para definir a multiplicidade de intersección, a intersección de dúas variedades afíns (subvariedades dun espazo afín).

Na análise complexa

Sexa z ₀ a raíz dunha función holomorfa f e sexa n o menor número enteiro positivo tal que a derivada n-ésima de f avaliada en z₀ difire de cero. Entón a serie de potencias de f sobre z ₀ comeza co n-ésimo termo, e dise que f ten unha raíz de multiplicidade (ou "orde") n. Se n = 1, a raíz chámase raíz simple.

Tamén podemos definir a multiplicidade dos ceros e polos dunha función meromorfa. Se temos unha función meromorfa ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ tomamos as expansións de Taylor de g e h sobre un punto z₀, e atopamos o primeiro termo distinto de cero en cada un (denotamos a orde dos termos como m e n respectivamente) entón se m = n, temos que o punto ten un valor distinto de cero. Se ${\displaystyle m>n,}$ entón o punto é un cero de multiplicidade ${\displaystyle m-n.}$ Se ${\displaystyle m<n}$, entón o punto ten un polo de multiplicidade ${\displaystyle n-m.}$