Primo xemelgo

Un número primo xemelgo é un número primo que é 2 menos ou 2 máis que outro número primo, por exemplo, un membro do par (17, 19) ou do par (41, 43). Noutras palabras, un primo xemelgo é un primo que ten un intervalo entre primos de dous. Tamén pode darse o nome a ambos os dous como par primo.

Os primos xemelgos vólvense cada vez máis raros a medida que se examinan intervalos máis grandes, de acordo coa tendencia xeral das diferenzas entre números primos adxacentes a facerse máis grandes a medida que os propios números se fan máis grandes. Porén, descoñécese se hai infinitos números primos xemelgos (a chamada conxectura dos primos xemelgos). O significativo avance^[1] dado polo traballo de Yitang Zhang no 2013, así como o traballo de James Maynard, Terence Tao e outros, foi un progreso substancial para demostrar que hai infinitos números primos xemelgos, mais polo momento isto segue sen resolverse.^[2]

Problemas sen solucionar en matemáticas:

Hai infinitos primos xemelgos?

(máis problemas sen solucionar en matemáticas)

Propiedades

Os primeiros pares primos xemelgos son (sen considerar o 2)

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), ... (secuencia A077800 na OEIS)

Cinco é o único primo que pertence a dous pares, xa que cada par primo xemelgo maior que (3, 5) ten a forma ${\displaystyle (6n-1,6n+1)}$ para algún número natural n; é dicir, o número entre os dous primos é múltiplo de 6.^[3] Por tanto, a suma de calquera par de primos xemelgos (que non sexan 3 e 5) é divisible por 12.

Teorema de Brun

En 1915, Viggo Brun demostrou que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos era converxente.^[4] Este famoso resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso da criba de Brun e axudou a iniciar o desenvolvemento da moderna teoría da criba. A versión moderna do argumento de Brun pode usarse para mostrar que o número de primos xemelgos menores que N non supera

${\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}$

para algunha constante C > 0.^[5] De feito, está limitado superiormente por $${\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],}$$ onde ${\displaystyle C_{2}}$ é a constante primo xemelgo (lixeiramente menor que 2/3), que se indica a continuación.^[6]

Conxectura dos primos xemelgos

A cuestión de se existen infinitos números primos xemelgos ten sido unha das grandes cuestións abertas na teoría dos números durante moitos anos. En 1849, de Polignac fixo a conxectura máis xeral de que para cada número natural k, hai infinitos números primos p tal que p + 2k tamén é primo.^[7] O caso k = 1 da conxectura de Polignac é a conxectura do primo xemelgo.

Unha forma máis forte da conxectura do primo xemelgo, a conxectura de Hardy-Littlewood (ver máis abaixo), postula unha lei de distribución para os primos xemelgos semellante ao teorema dos números primos.

O 17 de abril do 2013, Yitang Zhang anunciou unha proba de que para algún N enteiro que é inferior a 70 millóns, hai infinitos pares de primos que difiren en N.^[8] O artigo de Zhang foi aceptado a principios de maio do 2013.^[9] Terence Tao propuxo posteriormente un proxecto colaborativo, o Proxecto Polymath, para optimizar o límite de Zhang.^[10]

A partir do 14 de abril do 2014, un ano despois do anuncio de Zhang, o límite reduciuse a 246.^[11] Estes límites mellorados foron descubertos mediante un enfoque diferente que era máis sinxelo que o de Zhang e foi descuberto de forma independente por James Maynard e Terence Tao. Este segundo enfoque tamén deu límites para o f (m) máis pequeno necesario para garantir que infinitos intervalos de ancho f (m) conteñan polo menos m primos. A maiores (ver tamén a seguinte sección) asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam e a súa forma xeneralizada, a wiki do Proxecto Polymath afirma que a cota é 12 e 6, respectivamente.^[11]

Un fortalecemento da conxectura de Goldbach, se se proba, tamén probaría que hai un número infinito de primos xemelgos, así como a existencia de ceros de Siegel.

Outros teoremas máis febles que a conxectura dos primos xemelgos

En 1940, Paul Erdős demostrou que hai unha constante c < 1 e infinitos números primos p tal que p′ − p < c ln p onde p′ denota o seguinte primo despois de p. O que isto significa é que podemos atopar infinitos intervalos que conteñan dous primos (p, p′) sempre que estes intervalos medren lentamente en tamaño mentres pasamos a números primos cada vez máis grandes. Aquí, "medrar lentamente" significa que a lonxitude destes intervalos pode crecer logarítmicamente. Este resultado foi mellorando sucesivamente; en 1986 Helmut Maier demostrou que se pode utilizar unha constante c < 0.25. En 2004 Daniel Goldston e Cem Yıldırım demostraron que a constante podería mellorarse aínda máis ata c = 0.085786... . En 2005, Goldston, Pintz e Yıldırım estabeleceron que c se pode escoller para que sexa arbitrariamente pequeno,^[12][13] é dicir

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}$

Asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam ou unha versión lixeiramente feble, puideron demostrar que hai infinitos n tal que polo menos dous de n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18 ou n + 20 son primos. Baixo unha hipótese máis forte demostraron que para infinitos n, polo menos dous de n, n + 2, n + 4 e n + 6 son primos.

O resultado de Yitang Zhang,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {con} ~N=7\times 10^{7},}$

é unha gran mellora no resultado Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım. A optimización do proxecto Polymath do límite de Zhang e o traballo de Maynard reduciron o límite: o límite inferior é como máximo 246.^[14][15]

Conxecturas

Primeira conxectura de Hardy-Littlewood

A primeira conxectura de Hardy-Littlewood (chamada en honor a GH Hardy e John Littlewood) é unha xeneralización da conxectura dos primos xemelgos. Trata da distribución de constelacións de primos, incluíndo números primos xemelgos, en analoxía co teorema dos números primos. ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ denota o número de primos p ≤ x tal que p + 2 tamén é primo. Definimos a constante primo xemelgo C₂ como $${\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .}$$ (Aquí o produto esténdese sobre todos os números primos p ≥ 3), daquela un caso especial da primeira conxectura de Hardy-Littlewood resulta en$${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}}$$ no sentido de que o cociente das dúas expresións tende a 1 cando x se achega ao infinito.^[5] (O segundo ~ non forma parte da conxectura e está demostrado pola integración por partes).

A conxectura pódese xustificar (mais non probarse) supoñendo que ${\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}$ describe a función de densidade da distribución dos primos. Esta suposición, que é suxerida polo teorema dos números primos, implica a conxectura dos primos xemelgos, como se mostra na fórmula para ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$.

A conxectura de Polignac

A conxectura de Polignac de 1849 afirma que para cada número enteiro par positivo k, hai infinitos pares primos consecutivos p e p′ tal que p′ − p = k (é dicir, hai infinitos intrvalos entre primos de tamaño k ). O caso k = 2 é a conxectura dos primos xemelgos. A conxectura aínda non foi comprobada nin desmentida para ningún valor específico de k, mais o resultado de Zhang demostra que é certo para polo menos un valor de k (actualmente descoñecido). De feito, se tal k non existise, daqula para calquera número natural par positivo N hai como máximo un número finito n tal que ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}$ para todo m < N e así para n suficientemente grande temos ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}$ o que contradiría o resultado de Zhang. ^[7]

Primos xemelgos grandes

A partir de 2007, dous proxectos de computación distribuída, Twin Prime Search e PrimeGrid, produciron varios récords números primos xemelgos máis grandes. No 2016 o par primo xemelgo máis grande coñecido era 2996863034895 × 2^1290000 ± 1 ,^[16] con 388 342 díxitos decimais. Foi descuberto en setembro de 2016.^[17]

Hai 808.675.888.577.436 pares de primos xemelgos inferiores ${\displaystyle 10^{18}}$.^[18][19]

Primo illado

Un primo illado (ou primo non xemelgo) é un número primo p tal que nin p − 2 nin p + 2 é primo. Noutras palabras, p non forma parte dun par primo xemelgo. Por exemplo, 23 é un primo illado, xa que 21 e 25 son ambos os dous compostos.

Os primeiros primeiros illados son

2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97 ,... (secuencia A007510 na OEIS).

Do teorema de Brun despréndese que case todos os primos están illados no sentido de que a razón entre o número de primos illados inferiores a un determinado limiar n e o número de todos os primos inferiores a n tende a 1 segundo n tende ao infinito.