Intervalo entre primos

Un intervalo entre primos é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo n-ésimo, denotado g_n ou g(p_n) é a diferenza entre o primo (n + 1) e o primo n-ésimo , é dicir

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$

Distribución de frecuencia de intervalos entre primos para números primos de ata 1.600 millóns. Os picos ocorren en múltiplos de 6.^[1]

Temos g₁ = 1, g₂ = g₃ = 2 e g₄ = 4. A secuencia (g_n) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.

Os primeiros 60 intervalos primos son:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,... (secuencia A001223 na OEIS) .

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

Observacións sinxelas

Para calquera número enteiro n, o factorial n! é o produto de todos os enteiros positivos ata n incluído. Logo na secuencia

${\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n}$

o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de n − 1 enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos n de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro N, hai un enteiro m con g_m ≥ N.

O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.

O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a proporción entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius.^[2]

Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que g_n = 2 para un número infinito de números enteiros n.

Para algún número primo P, escribimos P# para representar P primorial, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, entón a secuencia

${\displaystyle P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)}$

é unha secuencia de Q − 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo Q − 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co Teorema do número primo.

Na verdade, os intervalos entre primos de P números poden ocorrer con números moito menores que P#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten vinte e sete dígitos, seu valor total é 557940830126698960967415390.

Resultados numéricos

O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen e J. K. Andersen.^[3][4]

Dicimos que g_n é un intervalo maximal, se g_m < g_n ${\displaystyle \forall }$ m < n. O maior intervalo maximal coñecido ata agosto de 2016 ten tamaño 1476, atopado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuaxésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre despois do número primo 1425172824437699411.^[5] Outros récords de intervalos maximais poden ser vistos en (secuencia A002386 na OEIS).

No 1931, Westzynthius probou que os intervalos entre primos medran de forma maior do que a escala logarítmica. Ou sexa,^[6]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Normalmente, a razón g_n / ln(p_n) chámase mérito dun intervalo entre primos g_n.

Maiores valores de "mérito" coñecidos (ata novembro de 2016)^[7][8][9]

Mérito	gn	cifras	pn	Data	Descubridor
36,858288	10716	127	${\displaystyle {\frac {7910896513\cdot 283\#}{30}}-6480}$	2016	Dana Jacobsen
36,590183	13692	163	${\displaystyle {\frac {1037600971\cdot 383\#}{210}}-8776}$	2016	Dana Jacobsen
36,420568	26892	321	${\displaystyle {\frac {59740589\cdot 757\#}{210}}-14302}$	2016	Dana Jacobsen
35,424459	66520	816	${\displaystyle {\frac {1931\cdot 1933\#}{7230}}-30244}$	2012	Michiel Jansen
35,310308	1476	19	1425172824437699411	2009	Tomás Oliveira e Silva

Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo

${\displaystyle {\frac {10716}{(\ln(p_{n}))^{2}}}\approx 36,858288}$

onde 283# indica o primorial de 283.^[7]

A razón de Cramér–Shanks–Granville está dada por

${\displaystyle {\frac {g_{n}}{(\ln(p_{n}))^{2}}}}$ ^[7]

O maior valor coñecido desa proporción é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos récords están en (secuencia A111943 na OEIS).

Os 75 primeiros intervalos maximais (n non está listado)

Números de 1 a 25 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1 129 10 34 1 327 11 36 9 551 12 44 15 683 13 52 19 609 14 72 31 397 15 86 155 921 16 96 360 653 17 112 370 261 18 114 492 113 19 118 1 349 533 20 132 1 357 201 21 148 2 010 733 22 154 4 652 353 23 180 17 051 707 24 210 20 831 323 25 220 47 326 693

Números de 26 a 50 # gn pn 26 222 122 164 747 27 234 189 695 659 28 248 191 912 783 29 250 387 096 133 30 282 436 273 009 31 288 1 294 268 491 32 292 1 453 168 141 33 320 2 300 942 549 34 336 3 842 610 773 35 354 4 302 407 359 36 382 10 726 904 659 37 384 20 678 048 297 38 394 22 367 084 959 39 456 25 056 082 087 40 464 42 652 618 343 41 468 127 976 334 671 42 474 182 226 896 239 43 486 241 160 624 143 44 490 297 501 075 799 45 500 303 371 455 241 46 514 304 599 508 537 47 516 416 608 695 821 48 532 461 690 510 011 49 534 614 487 453 523 50 540 738 832 927 927

Números de 51 a 75 # gn pn 51 582 1 346 294 310 749 52 588 1 408 695 493 609 53 602 1 968 188 556 461 54 652 2 614 941 710 599 55 674 7 177 162 611 713 56 716 13 829 048 559 701 57 766 19 581 334 192 423 58 778 42 842 283 925 351 59 804 90 874 329 411 493 60 806 171 231 342 420 521 61 906 218 209 405 436 543 62 916 1 189 459 969 825 483 63 924 1 686 994 940 955 803 64 1 132 1 693 182 318 746 371 65 1 184 43 841 547 845 541 059 66 1 198 55 350 776 431 903 243 67 1 220 80 873 624,627,234,849 68 1 224 203 986 478 517 455 989 69 1 248 218 034 721 194 214 273 70 1 272 305 405 826 521 087 869 71 1 328 352 521 223 451 364 323 72 1 356 401 429 925 999 153 707 73 1 370 418 032 645 936 712 127 74 1 442 804 212 830 686 677 669 75 1 476 1 425 172 824 437 699 411

Resultados posteriores

Límite superior

O postulado de Bertrand, probado no 1852, afirma que sempre existe un número primo entre k e 2k, en particular p_n+1<2p_n, o que significa que g_n < p_n.

O teorema do número primo, probado no 1896, dice que as distanzas totais entre dous intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O tamaño real do intervalo pode ser moito maior ou menor. A pesar diso, o teorema do número primo deduce un límite superior para o tamaño dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe un número N tal que

g_n < εp_n ${\displaystyle \forall }$ n > N.

Pódese deducir que os intervalos arbitrariamente pequenos teñen proporcións cos números primos a partir do límite do cociente:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

Hoheisel no 1930 foi o primeiro en mostrar^[10] que existe unha constante θ < 1 tal que

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{para }}x\to \infty ,}$

mostrando así que

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}$

para n suficientemente grande.

Hoheisel obtivo un posíbel valor ${\displaystyle {\frac {32999}{33000}}}$ para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para ${\displaystyle {\frac {249}{250}}}$ Heilbronn,^[11] e para θ = 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.^[12]

O mellor resultado é debido a Ingham,^[13] que mostrou que

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{c})\,}$

para algunha constante positiva c, onde O' reférese à notación O grande, e

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$

para algún ${\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}$. ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún ${\displaystyle c>{\frac {1}{6}}}$ é admisíbel, obtense que θ é un número maior que ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$.

Unha consecuencia inmediata do resultado de Ingham é que sempre hai un número primo entre n³ e (n + 1)³, se n é o suficientemente grande.^[14] A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para calquera constante positiva c: mais mesmo isto non é suficiente para implicar que hai un número primo entre n² e (n + 1)² para n suficientemente grande ( ver Conxectura de Legendre). Para verificar isto, é necesario un resultado máis forte como a conxectura de Cramér.

Huxley en 1972 demostrou que se pode escoller θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).^[15]

Un resultado, debido a Baker, Harman e Pintz en 2001, mostrou que θ pode considerarse 0,525.^[16]

En 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraron que

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

e dous anos máis tarde demostraron que ^[17]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

En 2013, Yitang Zhang demostrou iso

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

o que significa que hai infinitos interalos entre dous números primos consecutivos que non superan os 70 millóns.^[18] O proxecto Polymath Project realiza un esforzo de colaboración para optimizar o límite de Zhang.^[19] En novembro de 2013, James Maynard creou un novo perfeccionamento, permitindo reducir o límite a 600 e mostra que para algúns m hai un rango máximo de m primos.^[20] Usando as ideas de Maynard, o proxecto Polymath mellorou o límite a 46;^[19][21] asumindo a conxectura de Elliott–Halberstam, N pódese reducir a 12 e 6, respectivamente.^[19]

Límites inferiores

En 1938, Robert Rankin demostrou a existencia dunha constante c > 0 tal que a desigualdade

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

funciona para valores infinitos de n, mellorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Máis tarde demostrou que esta constante pode ser c < e^γ, onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi mellorado en 1997 a un valor inferior a 2e^γ.^[22]

Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 dólares por unha proba ou refutación de que a constante c na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e independentemente por James Maynard.^[23][24]

Máis tarde mellorouse o resultado

${\displaystyle g_{n}\gg {\frac {\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

para valores infinitos de n de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.^[25]

Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos.^[26]

Conxecturas sobre o intervalo entre números primos

A función de espazo principal.

Aínda mellores resultados están condicionados á hipótese de Riemann. Harald Cramér demostrou^[27] que a hipótese de Riemann implica que g_n satisfai^[28]

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a conxectura de Cramér usa a seguinte afirmación:

${\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).}$

A conxectura de Firoozbakht afirma que ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ (onde ${\displaystyle p_{n}}$ é o n-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de n, é dicir,

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}\forall n\geq 1.}$

Se esta conxectura é certa, a función ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ satisfai

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ para todo }}n>4.}$^[29]

Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz^[30][31][32] que suxire que ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$ vale para ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ onde ${\displaystyle \gamma }$ denota a constante de Euler-Mascheroni.

Mentres tanto, a conxectura de Oppermann é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m = 30) para cada número natural n > m satisfai ${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

A conxectura de Andrica, que é máis feble que a de Oppermann, afirma que^[33]

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Como función aritmética

O tamaño do intervalo g_n entre os números primos n-ésimo e (n + 1)-ésimo é un exemplo de función aritmética. Neste contexto, adoita denotarse por d_n e chámase función de diferenza entre números primos.^[33] Esta función non é aditiva nin multiplicativa.^[34]

Programa en Python

Varios tipos de programas poden ser feitos para calcular o valor de ${\displaystyle g_{n}}$, sendo un importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tense unha versión para Python, que calcula ${\displaystyle g_{n}}$ para os números primos entre 1 e 10000 (ata ao número primo 9973):^[35]

def prime(num):
    for divisor in range(2, num):
        if num % divisor == 0:
            return False
    return True

list_prime = []
for i in range(1,10000):
    if prime(i):
        list_prime.append(i)
        
for n in range(2, len(list_prime)):
    print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')