Produto infinito

En matemáticas, para unha secuencia de números complexos a₁, a₂, a₃, ... o produto infinito

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

defínese como o límite dos produtos parciais a₁ a₂ ... a_n, a medida que n aumenta sen límite. Dise que o produto converxe cando existe o límite e non é cero. En caso contrario, dise que o produto diverxe. Un límite cero é tratado especialmente para obter resultados análogos aos de sumas infinitas. Se o produto converxe, entón o límite dao valor de a_n a medida que n aumenta ata o infinito debe ser 1, mentres que a inversa en xeral non é certa.

Os exemplos máis coñecidos de produtos infinitos son probablemente algunhas das fórmulas para π, como os seguintes dous produtos, respectivamente de Viète (a fórmula de Viète, o primeiro produto infinito publicado en matemáticas) e John Wallis (produto de Wallis):

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}$

Criterios de converxencia

O produto de números reais positivos

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

converxe a un número real distinto de cero se e só se a suma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

converxe. Isto permite traducir os criterios de converxencia para sumas infinitas en criterios de converxencia para produtos infinitos.

Se a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ diverxe a ${\displaystyle -\infty }$, entón a secuencia de produtos parciais da a_n converxe a cero. Dise que o produto infinito diverxe a cero.^[1]

Representacións de funcións de produtos

Un resultado importante sobre produtos infinitos é que toda función enteira f(z) (é dicir, cada función que é holomorfa sobre todo o plano complexo) pode factorizarse nun produto infinito de funcións enteiras, cada unha cunha única raíz como máximo. En xeral, se f ten unha raíz de orde m na orixe e ten outras raíces complexas en u₁, u₂, u₃, ... (listados con multiplicidades iguais ás súas ordes), entón

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

onde λ_n son enteiros non negativos que se poden escoller para facer converxer o produto, e ${\displaystyle \phi (z)}$ é algunha función enteira (o que significa que o termo anterior ao produto non terá raíces no plano complexo). A factorización anterior non é única, xa que depende da escolla dos valores para λ_n. No entanto, para a maioría das funcións, haberá algún número enteiro non negativo p tal que λ_n = p dea un produto converxente, chamado representación canónica do produto. Este p chámase rango do produto canónico. No caso de que p = 0, esta toma a forma

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).}$

Isto pódese considerar como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra, xa que para polinomios, o produto faise finito e ${\displaystyle \phi (z)}$ é constante.

A maiores destes exemplos, destacan as seguintes representacións:

Función	Produto infinito	Notas
Polo simple	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{z^{n}/n}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}}$
Función sinc	${\displaystyle {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$	Isto débese a Euler (produto infinito de Euler). A fórmula de Wallis para π é un caso especial disto.
Recíproca da función gamma	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}}$	Schlömilch
Función sigma de Weierstrass	${\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}}$	Aquí ${\displaystyle \Lambda _{*}}$ é a retícula sen a orixe.
Q-símbolo de Pochhammer	${\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})}$	Amplamente unsado na teoría de q-análogos. A Función de Euler é un caso especial.
Función theta de Ramanujan	${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}}$	Unha expresión do produto triplo de Jacobi, tamén usado na expresión da función theta de Jacobi
Función zeta de Riemann	${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$	Aquí pn denota o n-ésimo número primo. Este é un caso especial do produto de Euler.

A última delas non é unha representación de produto do mesmo tipo que se discutiu anteriormente, xa que ζ non é unha función enteira. Pola contra, a representación do produto anterior de ζ(z) converxe precisamente para Re( z ) > 1, onde é unha función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica, esta función pódese estender unicamente a unha función analítica (aínda denotada ζ (z)) en todo o plano complexo agás no punto z = 1, onde ten un polo simple.