Sistema sobredeterminado

En matemáticas, un sistema de ecuacións considérase sobredeterminado se hai máis ecuacións que incógnitas.

Un sistema sobredeterminado case sempre é inconsistente (non ten solución) cando se constrúe con coeficientes aleatorios. No entanto, un sistema sobredeterminado terá solucións nalgúns casos, por exemplo se algunhas ecuacións son combinacións lineares das outras.

A terminoloxía pódese describir en termos de reconto de restricións. Cada incógnita pode verse como un grao de liberdade dispoñíbel. Cada ecuación introducida no sistema pódese ver como unha restrición que restrinxe un grao de liberdade.

O caso sobredeterminado prodúcese cando o sistema foi excesivamente restrinxido, é dicir, cando as ecuacións superan en número ás incógnitas.

En cambio, o caso indeterminado ocorre cando o sistema foi pouco restrinxido, é dicir, cando o número de ecuacións é menor que o de incógnitas e por tanto normalmente existen infinitas solucións.

Sistemas lineares de ecuacións sobredeterminados

Un exemplo en dúas dimensións

#1 Un sistema de tres ecuacións linearmente independentes, tres liñas, sen solucións

#2 Un sistema de tres ecuacións linearmente independentes, tres liñas (todas paralelas), sen solucións

#3 Un sistema de tres ecuacións (unha ecuación depende linearmente das outras), tres liñas, unha solución

Considere o sistema de 3 ecuacións e 2 incógnitas ( X e Y ), que está sobredeterminado porque 3 > 2, e que corresponde ao Diagrama #1: $${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=-2X-1\\Y&=3X-2\\Y&=X+1.\end{aligned}}}$$

Hai unha solución para cada par de ecuacións lineares: para a primeira e a segunda ecuacións (0.2, -1.4), para o primeiro e o terceiro (−2/3, 1/3), e para o segundo e terceiro (1.5, 2.5). No entanto, non hai solución que satisfaga os tres á vez.

O diagrama #2 mostra outra configuración inconsistente porque non hai ningún punto común en todas as liñas. Os sistemas deste tipo considéranse inconsistentes.

Os únicos casos nos que o sistema sobredeterminado ten de feito unha solución móstranse no diagrama #3.

Estas excepcións só poden ocorrer cando o sistema sobredeterminado contén suficientes ecuacións linearmente dependentes para que o número de ecuacións independentes non supere o número de incógnitas.

A dependencia linear significa que algunhas ecuacións pódense obter combinando linearmente outras ecuacións. Por exemplo, Y = X + 1 e 2Y = 2X + 2 son ecuacións linearmente dependentes porque a segunda pódese obter tomando dúas veces a primeira.

Forma matricial

Calquera sistema de ecuacións lineares pódese escribir como unha ecuación matricial. O sistema de ecuacións anterior (no diagrama #1) pódese escribir do seguinte xeito: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\-3&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-2\\1\end{bmatrix}}}$$Observe que as filas da matriz de coeficientes (correspondentes ás ecuacións) superan en número ás columnas (correspondentes a incógnitas), o que significa que o sistema está sobredeterminado. O rango desta matriz é 2, que corresponde ao número de variábeis dependentes do sistema.^[1]

Un sistema linear é consistente se e só se a matriz de coeficientes ten o mesmo rango que a súa matriz aumentada (a matriz de coeficientes cunha columna adicional engadida, sendo esa columna o vector da columna das constantes). A matriz aumentada ten o rango 3, polo que o sistema é inconsistente. A nulidade é 0, o que significa que o espazo nulo só contén o vector cero e, polo tanto, non ten ningunha base.

En álxebra linear os conceptos de espazo de filas, espazo de columnas e espazo nulo son importantes para determinar as propiedades das matrices. A discusión informal de restricións e graos de liberdade anterior está relacionada directamente con estes conceptos máis formais.

Caso homoxéneo

O caso homoxéneo (no que todos os termos constantes son cero) sempre é consistente (porque hai unha solución trivial, totalmente nula).

Hai dous casos, dependendo do número de ecuacións linearmente dependentes: ou hai só a solución trivial, ou existe a solución trivial máis un conxunto infinito doutras solucións.

Caso non homoxéneo

En sistemas de ecuacións lineares, L_i = c_i para 1 ≤ i ≤ M, nas variábeis X₁, X₂, ... , X_N as ecuacións son ás veces linearmente dependentes; de feito o número de ecuacións linearmente independentes non pode exceder de N +1. Temos os seguintes casos posíbeis para un sistema sobredeterminado con N incógnitas e M ecuacións (M > N).

• M = N +1 e todas as M ecuacións son linearmente independentes . Este caso non dá solución. Exemplo: x = 1, x = 2.
• M > N pero só as K ecuacións (K < M e K ≤ N +1) son linearmente independentes. Existen tres posiíbeis subcasos deste:
  • K = N +1. Este caso non dá solucións. Exemplo: 2x = 2, x = 1, x = 2.
  • K = N. Este caso dá unha única solución ou ningunha solución, esta última ocorre cando o vector coeficiente dunha ecuación pode ser replicado por unha suma ponderada dos vectores coeficientes das outras ecuacións, pero esa suma ponderada aplicada aos termos constantes das outras ecuacións non replica o termo constante da ecuación. Exemplo cunha solución: 2x = 2, x = 1. Exemplo sen solución: 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3.
  • K < N. Este caso produce infinitas solucións ou ningunha solución, esta última ocorre como no subcaso anterior. Exemplo con infinitas solucións: 3x + 3y = 3, 2x + 2 y = 2, x + y = 1. Exemplo sen solución: 3x + 3 y + 3z = 3, 2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4.

Estes resultados poden ser máis fáciles de entender poñendo a matriz aumentada dos coeficientes do sistema en forma de filas escalonadas usando a eliminación gaussiana.

Dito doutro xeito, segundo o teorema de Rouché-Capelli, calquera sistema de ecuacións (sobredeterminado ou non) é inconsistente se o rango da matriz aumentada é maior que o rango da matriz de coeficientes.

Solucións exactas

Pódense obter todas as solucións exactas, ou pódese demostrar que non existe ningunha, usando álxebra matricial. Ver Sistema de ecuacións lineais#Solución matricial.