Suma de matrices

En matemáticas, a suma de matrices é a operación entre matrices que se realiza sumando os elementos que están nas mesmas posicións.

Ilustración da adición de dúas matrices .

Para un vector, ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$, engadir dúas matrices tería o efecto xeométrico de aplicar cada transformación matricial por separado ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$, engadindo despois os vectores transformados.

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}$

No entanto, hai outras operacións que tamén se poden considerar sumas para matrices, como a suma directa e a suma de Kronecker.

Suma

Dúas matrices deben ter un número igual de filas e columnas para engadir.^[1] Nese caso, a suma de dúas matrices A e B será unha matriz que teña o mesmo número de filas e columnas que A e B. A suma de A e B, denotada A + B, calcúlase sumando os elementos cos mesmos subíndices de A e B: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

Ou de forma máis concisa, se temos C = A + B:^[4][5]

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

Suma directa

Outra operación, que se usa con menos frecuencia, é a suma directa (indicada por ⊕). A suma de Kronecker tamén se denota ⊕; o contexto debe deixar claro o uso. A suma directa de calquera par de matrices A de tamaño m × n e B de tamaño p × q é unha matriz de tamaño ( m + p ) × ( n + q ) definida como: ^[2]

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Por exemplo,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

A suma directa de matrices é un tipo especial de matriz de bloques. En particular, a suma directa das matrices cadradas é unha matriz diagonal de bloques.

En xeral, a suma directa de n matrices é: ^[2]

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

onde os ceros son realmente bloques de ceros (é dicir, matrices cero).

Suma de Kronecker

A suma de Kronecker é diferente da suma directa, mais tamén se denota por ⊕. Defínese usando o produto de Kronecker ⊗ e a suma matricial normal. Se A é ${\displaystyle a\times a}$, B é ${\displaystyle b\times b}$ e ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ denota a matriz de identidade de orde ${\displaystyle n}$, entón a suma de Kronecker defínese por^[6]:

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{b}+\mathbf {I} _{a}\otimes \mathbf {B} .}$