Traza (álxebra linear)

En álxebra linear, a traza dunha matriz cadrada A, denotada como tr(A), ^[1] defínese como a suma de elementos da diagonal principal (desde a parte superior esquerda ata a inferior dereita) de A. A traza só se define para unha matriz cadrada (n × n).

A traza está relacionada coa derivada do determinante (ver fórmula de Jacobi).

Definición

A traza dunha matriz cadrada n × n, A, defínese como ^{[1] [2] [3]:34}</ref>^:34$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$$ onde a_ii denota a entrada na fila i e na columna i de A. As entradas de A poden ser números reais, números complexos ou máis xeralmente elementos dun corpo F. A traza non está definida para matrices non cadradas.

Exemplo

Sexa A unha matriz, con $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$$

Logo $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

Propiedades

Propiedades básicas

A traza é un aplicación linear. É dicir, ^{[1] [2]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$ para todas as matrices cadradas A e B, e todos os escalares c . ^[3]:34

Unha matriz e a súa transposta teñen a mesma traza: ^{[1] [2] [3]:34}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

Traza dun produto

A traza dunha matriz cadrada que é o produto de dúas matrices pódese reescribir como a suma dos produtos de entrada dos seus elementos, é dicir, como a suma de todos os elementos do seu produto de Hadamard. Dito directamente, se A e B son dúas matrices m × n, daquela: $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

Propiedade cíclica

De forma máis xeral, a traza é invariante baixo desprazamentos circulares, é dicir,

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).}$

Isto coñécese como a propiedade cíclica.

Non se permiten permutacións arbitrarias: en xeral, $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}$$

Traza dun produto Kronecker

A traza do produto de Kronecker de dúas matrices é o produto das súas trazas: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

Traza como suma de valores propios

Dado calquera matriz n × n, A, temos

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$

onde λ₁, ..., λ_n son os eigenvalores de A contados con multiplicidade. Isto é certo aínda que A sexa unha matriz real e algúns (ou todos) os valores propios sexan números complexos. Isto pódese considerar como unha consecuencia da existencia da forma canónica de Jordan, xunto coa semellanza-invarianza da traza.