חלוקה (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, חלוקה (לפעמים נקראת חלוקה זרה) של קבוצה X, היא אוסף של תת קבוצות לא ריקות של ${\displaystyle X}$, שהן זרות בזוגות ומכסות את ${\displaystyle X}$ (כלומר ${\displaystyle X}$ שווה לאיחוד שלהן).

52 החלוקות של קבוצה בת 5 איברים: הנקודות מייצגות איברים בקבוצה; כאשר הן אינן צבועות הן מסמנות תת-קבוצות בעלות איבר יחיד. האזורים הצבועים מייצגים תת-קבוצות שלה.

דוגמאות

• קבוצת המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים היא חלוקה של קבוצת המספרים הטבעיים.
• כל יחס שקילות על קבוצה מסוימת מגדיר עליה חלוקה למחלקות שקילות.

הכיוון ההפוך גם נכון: כל חלוקה של קבוצה היא למעשה מחלקות שקילות של יחס שקילות שמוגדר כך שהאיבר ${\displaystyle a}$ שקול ל-${\displaystyle b}$ אם שניהם שייכים לאותה תת-קבוצה.

• אם ${\displaystyle H}$ היא תת-חבורה של ${\displaystyle G}$, אז המחלקות הימניות או השמאליות של ${\displaystyle H}$ הן חלוקה של ${\displaystyle G}$. אם ${\displaystyle H}$ תת-חבורה נורמלית, איברי החלוקה מהווים חבורה בפני עצמם באופן טבעי.
• לכל קבוצה ${\displaystyle X}$ לא-ריקה קיימות חלוקות טריוויאליות: החלוקה ${\displaystyle \{X\}}$ שמכילה איבר יחיד והוא הקבוצה כולה, והחלוקה ${\displaystyle {\bigl \{}\{x\}:x\in X{\bigr \}}}$ – פירוק הקבוצה ליחידונים.

יחס העידון

על אוסף החלוקות של קבוצה ${\displaystyle X}$ מוגדר יחס סדר חלקי הנקרא "יחס העידון"; חלוקה אחת מעודנת יותר מהשנייה אם קבוצותיה מוכלות בקבוצות החלוקה השנייה. באופן הזה החלוקה המעודנת יותר היא למעשה איחוד של חלוקות של קבוצות החלוקה הפחות מעודנת. באופן פורמלי, חלוקה ${\displaystyle P_{1}=\{A_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ מעודנת יותר מחלוקה ${\displaystyle P_{2}=\{B_{\beta }\}_{\beta \in J}}$ אם ורק אם לכל ${\displaystyle \alpha \in I}$ קיימת ${\displaystyle \beta \in J}$ עבורה ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq B_{\beta }}$. יחס העידון הופך את אוסף החלוקות של הקבוצה ${\displaystyle X}$ לסריג שהמינימום והמקסימום שלו הן החלוקות הטריוויאליות.

חלוקות של קבוצות סופיות

לחלוקות של קבוצת המספרים ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ יש חשיבות רבה בקומבינטוריקה ותחומים אחרים של המתמטיקה.

חבורה פרימיטיבית

בתורת החבורות, כאשר חבורה ${\displaystyle G}$ פועלת על קבוצה, ניתן לדבר על חלוקות שהן אינווריאנטיות תחת אותה חבורה או ועל חלוקות שאינן כאלו. חלוקה ${\displaystyle \{A_{\alpha }\}}$ נקראת ${\displaystyle G}$-אינווריאנטית אם לכל ${\displaystyle g\in G}$ מתקיים:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A_{\alpha }\}=\{gA_{\alpha }\}\\gA_{\alpha }=\{g(a):a\in A_{\alpha }\}\end{aligned}}}$

כלומר איברי החבורה לכל היותר מחליפים בין קבוצות החלוקה אך לא לוקחים קבוצה מהחלוקה המקורית לקבוצה שלא נמצאת בחלוקה. חבורות שהחלוקות האינווריאנטיות היחידות שלהן הן החלוקות הטריוויאליות נקראות חבורות פרימיטיביות.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חלוקה בוויקישיתוף

• חלוקה, באתר MathWorld (באנגלית)
• חלוקה (תורת הקבוצות), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• חלוקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)