Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט צ'בה הוא משפט יסודי בגאומטריה האוקלידית, הנותן תנאי לכך ששלושה קטעים היוצאים מקודקודי משולש ייפגשו בנקודה משותפת. היינו: במשולש ABC, אם בוחרים נקודות F,D,E על הצלעות AB,BC,CA (או המשכיהן) בהתאמה, אז הקטעים AD, BE ו-CF נפגשים בנקודה אם ורק אם מכפלת יחסי החלוקה שווה ל-1. לצורך זה יחס החלוקה מחושב עם סימן; המשפט נכון גם לגבי חלוקה חיצונית, כאשר היחס שלילי.
ניסוח נוסף של המשפט מספק תנאי שקול המכונה "משפט צ'בה הזוויתי": . ניתן להוכיח שהניסוחים שקולים בעזרת שימוש במשפט הסינוסים.
משפטים ידועים על נקודות מיוחדות של משולש הם מסקנות ממשפט צ'בה:
שלשה של נקודות F,D,E כמתואר במשפט נקראת שלשת צ'בה. לדוגמה, אמצעי הצלעות מהווים שלשת צ'בה (זהו המשפט על מפגש התיכונים בנקודה). גם נקודות ההשקה של המעגל החסום מהוות שלשת צ'בה (מפגש הקטעים האלה נקרא נקודת גרגון (אנ') של המשולש).
יש למשפט כמה וכמה הוכחות גאומטריות, אבל ההוכחה בשיטות של גאומטריה אנליטית היא כנראה הפשוטה מכולן. מכיוון שהנקודות A,B,C אינן על קו ישר אחד, כל נקודה במישור, ובפרט O (ראו ציור) היא ממוצע משוקלל שלהן, כלומר, קיימים משקלים , שסכומם 1, כך שמתקיים: .
מכיוון שהנקודה D נמצאת על ישר אחד עם O ו-A, ועל ישר אחר עם B ו-C, מתקיים: . לכן , ובאופן דומה, , ו-. כלומר, טענת המשפט היא ש- , והטענה הזו טריוויאלית.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.